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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

设数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(a_{1}=4\)，\(S_{n}=a_{n+1}+2n-4\)，\(n\in N^{*}.\)
\((1)\)求数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=\dfrac{a_{n}-2}{\left({2^{n}+1}\right)\left({2^{n+1}+1}\right)}\)，数列\(\left\{\begin{array}{l}b_{n}\end{array}\right\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足\(T_{n}>\dfrac{13}{40}\)的正整数\(n\)的最小值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

若集合\(A=\{x|x^{2}-6x+5=0\}\)，写出集合\(A\)的所有子集．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

已知条件\(p\)：“曲线\(C_{1}\)：\(\dfrac{x^{2}}{m-1}+\dfrac{y^{2}}{5-m}=1\)表示焦点在\(x\)轴上的椭圆”，条件\(q\)：“曲线\(C_{2}\)：\(\dfrac{x^{2}}{m-t}+\dfrac{y^{2}}{m-t-1}=1\)表示双曲线”，其中\(m,t\in R.\)
\((1)\)若条件\(p\)成立，求\(m\)的取值范围；
\((2)\)若条件\(p\)，\(q\)都成立且\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，求\(t\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

已知正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}^{2}=S_{n+1}+S_{n}.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=\dfrac{1}{(2a_{n}-1)(2a_{n}+1)}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，且\(S_{n}+S_{n+1}=a_{n+1}^{2}.\)
\((1)\)证明：数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}+b_{n+1}=a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(2n\)项和\(T_{2n}.\)

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年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(2S_{n}-na_{n}=n\)，\(n\in N^{+}\)，且\(a_{2}=3.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}\sqrt{a_{n+1}}+a_{n+1}\sqrt{a_{n}}}\)，\(T_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求使\(T_{n}>\dfrac{9}{20}\)成立的最小正整数\(n\)的值．

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年份：2021

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{3}+a_{5}=20\)，\(a_{6}=4a_{2}.\)
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)设数列\(\{b_{n}\}\)是各项均为正数的等比数列，\(c_{n}=a_{n}+b_{n}\)，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}.\)
条件①：\(b_{1}=1\)；
条件②：\(b_{5}=8b_{2}\)；
条件③：\(b_{2}+b_{3}=6.\)

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年份：2021

记数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对于任意的正整数\(n\)，都有\(S_{n}=\dfrac{3}{2}a_{n}-2n.\)
\((Ⅰ)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)；
\((Ⅱ)\)设\(b_{n}=a_{n}+2\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
\((Ⅲ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}.\)

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年份：2021

已知集合\(A=\{1,2,3,\)…，\(n\}\)，\(n\in N*.\)集合\(A\)含有\(k\)个元素的子集分别记为\(A_{k,1}\)，\(A_{k,2}\)，\(A_{k,3}\)，…，\(A_{k,m}\)，其中\(1\leqslant k\leqslant n\)，\(k\in N*\)，\(m\in N*.\)
当\(1\leqslant j\leqslant m\)，\(j\in N*\)时，设\(A_{k,j}=\{x_{1},x_{2},\)……，\(x_{k}\}\)，且\(x_{1}< x_{2}< x_{3}<\)…\(< x_{k}.\)
定义：\(S(A_{k,j})=x_{k}-x_{k-1}+x_{k-2}-\)…\(+(-1)^{k+1}x_{1}\)；
\(T[k]=S(A_{k,1})+S(A_{k,2})+S(A_{k,3})+\)…\(+S(A_{k,m}).\)
\((Ⅰ)\)若\(n=5\)，
\((ⅰ)\)写出满足\(S(A_{4,j})=2\)的一个集合\(A_{4,j}\)，并写出\(j\)的最大值；
\((ⅱ)\)求\(T[1]+T[2]+[3]\)的值；
\((Ⅱ)\)若存在唯一的\(n\in N*\)，使得\(T[1]+T[2]+\)…\(+T[n]=1024\)，求\(n\)的值．

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年份：2021

已知集合\(R^{n}=\{(x_{1},x_{2},⋯,x_{n})|x_{i}\in R,i=1,2,⋯,n\}(n\geqslant 1)\)，定义\(R^{n}\)上两点\(A(a_{1},a_{2},⋯,a_{n})\)，\(B(b_{1},b_{2},⋯,b_{n})\)的距离\(d(A,B)=\sum\limits_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|.\)
\((Ⅰ)\)当\(n=2\)时，若\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，求\(d(A,B)\)的值；
\((Ⅱ)\)当\(n=2\)时，证明\(R^{2}\)中任意三点\(A\)，\(B\)，\(C\)满足关系\(d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(C,B)\)；
\((Ⅲ)\)当\(n=3\)时，设\(A(0,0,0)\)，\(B(4,4,4)\)，\(P(x,y,z)\)，其中\(x\)，\(y\)，\(z\in Z\)，\(d(A,P)+d(P,B)=d(A,B).\)求满足\(P\)点的个数\(n\)，并证明从这\(n\)个点中任取\(11\)个点，其中必存在\(4\)个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于\(\dfrac{8}{3}.\)

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