设数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，___________从①\({{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-2\)；②\({{S}_{n}}={{2}^{n+1}}-2\)；③数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)是各项和均为正数递增数列，\(a_{n+1}^{2}={{a}_{n+2}}\cdot{{a}_{n}}\)，\({{a}_{3}}=8,{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}-4\)成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.

\((1)\)求数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=lo{{g}_{2}}{{a}_{n}}\)，求数列\(\left\{{{a}_{2n+1}}+{{b}_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)