已知函数\({f}_{1}(x)={e}^{\left|x-a\right|}\)，\(f_{2}(x)=e^{bx}.\)

\((1)\)若\(f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+bf_{2}(-x)\)，是否存在\(a\)，\(b\in\)\(R\)，使得\(y=f(x)\)为偶函数？如果存在，请举例并证明；如果不存在，请说明理由．

\((2)\)若\(a=2\)，\(b=1\)，判断\(g(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\)在\((-∞,1)\)上的单调性，并用定义证明．

\((3)\)已知\(b\in[0,\ln\:2),\)存在\(x_{0}\in[0,1]\)，对任意\(x\in[0,1]\)，都有\(|f_{1}(x)-f_{2}(x_{0})|< 1\)成立，求\(a\)的取值范围．