已知圆\(C\)的圆心在直线\(x-2y=0\)上，且与\(y\)轴相切于点\((0,1).\)
\((1)\)求圆\(C\)的方程；
\((2)\)若圆\(C\)与直线\(l:x-y+m=0\)交于\(A\)，\(B\)两点，_____________________ ，求\(m\)的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：\(\angle ACB=120{}^\circ\)；条件②：\(\left|AB\right|=2\sqrt{3}.\)
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．