在平面直角坐标系\(xOy\)中， 点\(P\)到两点\(\left(0,-\sqrt{3}\right)\)、\(\left(0,\sqrt{3}\right)\)的距离之和等于\(4\)，设点\(P\)的轨迹为\(C\)， 直线\(y=kx+1\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点\(.\:\:\: \)

\((1) \)写出曲线\(C\)的方程\(;\)

\((2) \)若\(\overrightarrow{OA}{\rm⊥}\overrightarrow{OB}\)，求\(k\)的值\(; \)