设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}=1\)，\({{S}_{n+1}}-2{{S}_{n}}=1\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．

\((1)\)证明：\(\left\{ {{S}_{n}}+1 \right\}\)为等比数列，求出\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\(;\)

\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)，求\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)，并判断是否存在正整数\(n\)使得\({{T}_{n}}\cdot {{2}^{n-1}}=n+50\)成立\(?\)若存在求出所有\(n\)值\(;\)若不存在说明理由．