设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(S_{1}=1\)，\(S_{2}=2\)，当\(n\geqslant 2\)时，\(S_{n+1}-S_{n-1}=2^{n}\)，
\((1)\)求证：\(a_{n+2}-a_{n}=2^{n}(n\in N^{*})\)；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((3)\)设\(T_{n}=1+\dfrac{1}{2}a_{2}+\dfrac{1}{2^{2}}a_{3}+\)…\(+\dfrac{1}{2^{n-1}}a_{n}\)，求\(T_{n}.\)