设\((1+2x) ^{k} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} +a _{3} x ^{3} +…+a _{k} x ^{k} (k\geqslant 2 , k∈N ^{*} ).\)
\((1)\)若展开式中第\(5\)项与第\(7\)项的系数之比为\(3\)：\(8\)，求\(k\)的值；
\((2)\)设\(k= \dfrac {n^{2}+n-2}{2} (n∈N ^{+} )\)，且各项系数\(a _{0}\)，\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{k}\)互不相同．现把这\(k+1\)个不同系数随机排成一个三角形数阵：第\(1\)列\(1\)个数，第\(2\)列\(2\)个数，\(…\)，第\(n\)列\(n\)个数．设\(t _{i}\)是第\(i\)列中的最小数，其中\(1\leqslant i\leqslant n\)，且\(i\)，\(n∈N ^{*} .\)记\(t _{1} > t _{2} > t _{3} > … > t _{n}\)的概率为\(P _{n} .\)求证：\(P _{n} > \dfrac {1}{2(n-1)!}\)．