\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{b} \)夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a}\right|=2 \)，\(\left| \overrightarrow{b}\right|=1 \)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}\right| \)____\(.\)　

\((2)\)在等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\(a_{1}=7\)，公差为\(d\)，\(S_{n}\)为其前\(n\)项和，当且仅当\(n=8\)时\(S_{n}\)取得最大值，则\(d\)的取值范围为__________．

\((3)\)已知直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的\(6\)个顶点都在球\(O\)的球面上，若\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(AB⊥AC \)，\(AA_{1}=12\)，则球\(O\)的表面积为__________．

\((4)\)如图，在\(\triangle ABC\)中，\(M\)为\(BC\)上不同于\(B\)，\(C\)的任意一点，点\(N\)满足\(\overrightarrow{AN}=2 \overrightarrow{NM} .\)若\(\overrightarrow{AN}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \)，则 \(x^{2}+9y^{2}\)的最小值为_________\(..\)