如图，四边形\(ABCD\)是圆柱\(O{{O}_{1}}\)的轴截面，点\(P\)为底面圆周上异于\(A\)，\(B\)的点.\((1)\)求证：\(PB\bot\)平面\(PAD\)；\((2)\)若圆柱的侧面积为\(2\pi\)，体积为\(\pi\)，点\(Q\)为线段\(DP\)上靠近点\(D\)的三等分点，是否存在一点\(P\)使得直线\(AQ\)-高中数学- 职教组卷

题型：解答题题类：其他难易度：较易

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如图，四边形\(ABCD\)是圆柱\(O{{O}_{1}}\)的轴截面，点\(P\)为底面圆周上异于\(A\)，\(B\)的点.

\((1)\)求证：\(PB\bot\)平面\(PAD\)；

\((2)\)若圆柱的侧面积为\(2\pi\)，体积为\(\pi\)，点\(Q\)为线段\(DP\)上靠近点\(D\)的三等分点，是否存在一点\(P\)使得直线\(AQ\)与平面\(BDP\)所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点\(P\)的位置；若不存在，说明理由.

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