已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F _{1}\)，\(F _{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {3}\)，\(A\)，\(B\)是\(C\)上关于\(x\)轴对称的两点，\(\triangle ABF _{1}\)周长的最大值为\(8\)．
\((1)\)求\(C\)的标准方程．
\((2)\)过\(C\)上的动点\(M\)作\(C\)的切线\(l\)，过原点\(O\)作\(OP⊥l\)于点\(P.\)问：是否存在直线\(l\)，使得\(\triangle OMP\)的面积为\(1\)？若存在，求出此时直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．