已知函数\(f(x)=e ^{x} -e ^{-x}\)，\(g(x)=ax(e\)为自然对数的底数\()\)，其中\(a∈R\)．
\((1)\)试讨论函数\(F(x)=f(x)-g(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(a=2\)时，记函数\(f(x)\)，\(g(x)\)的图象分别为曲线\(C _{1}\)，\(C _{2} .\)在\(C _{2}\)上取点\(P _{n} (x _{n} , y _{n} )\)作\(x\)轴的垂线交\(C _{1}\)于\(Q _{n}\)，再过点\(Q _{n}\)作\(y\)轴的垂线交\(C _{2}\)于\(P _{n+1} (x _{n+1} , y _{n+1} )(n∈N*)\)，且\(x _{1} =1\)．
①用\(x _{n}\)表示\(x _{n+1}\)；
②设数列\(\{x _{n} \}\)和\(\{\ln x _{n} \}\)的前\(n\)项和分别为\(S _{n}\)，\(T _{n}\)，求证：\(S _{n} -T _{n+1} > n\ln 2\)．