\((1)\)已知不等式组\(\begin{cases}\begin{matrix}y\leqslant x \\ y\geqslant -x\end{matrix} \\ x\leqslant a\end{cases} \)表示的平面区域\(S\)的面积为\(4\)，则\(z=2x+y\)的最大值为_____．

\((2)\)将数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：

\(①\)各行的第一个数\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{5}}\)构成公差为\(d\)的等差数列；

\(②\)从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为\(q\)的等比数列．

若\({{a}_{1}}=1,{{a}_{3}}=4,a_{5}^{{}}=3\)，则第\(n\)行的和\({{T}_{n}}=\)________

\((3)\)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为\(12 cm\)，深\(2cm\)的空穴，则该球的表面积是_____\(cm²\)．

\((4)\)已知\(\Delta ABC\)的外接圆半径为\(R\)，且\(2R({{\sin }^{2}}A-{{\sin }^{2}}C)=(\sqrt{2}a-b)\sin B.\) 则\(\angle C=\)____