已知直线\(l\)：\(x-ty-1=0\)，圆\(C\)：\((x-k)^{2}+(y-2k+1)^{2}=4.\)
\((1)\)若\(t=1\)，直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(AB=\sqrt{2}CA\)，求圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)是否存在实数\(t\)，使得直线\(l\)被圆\(C\)所截得的弦长为定值？若存在，求出\(t\)的值；若不存在，请说明理由．