已知函数\(f\left( x \right)=\sin \dfrac{\pi x}{2}\left( x\in R \right).\)任取\(t\in R\)， 若函数\(f\left( x \right)\)在区间\(\left[ t,t+1 \right]\)上的最大值为\(M\left( t \right)\)， 最小值为\(m\left( t \right)\)， 记\(g\left( t \right)=M\left( t \right)-m\left( t \right)\)．

\((1)\)求函数\(f\left( x \right)\)的最小正周期及对称轴方程；

\((2)\)当\(t\in \left[ -2,0 \right]\)时， 求函数\(g\left( t \right)\)的解析式；

\((3)\)设函数\(h\left( x \right)={{2}^{\left| x-k \right|}}\)，\(H\left( x \right)=x\left| x-k \right|+2k-8\)，其中实数\(k\)为参数， 且满足关于\(t\)的不等式\(\sqrt{2}k-4g\left( t \right)\leqslant 0\)对\(t\in \left[ -2,0 \right]\)有解， 若对任意\({{x}_{1}}\in \left[ 4,+\infty \right)\)， 存在\({{x}_{2}}\in \left( -\infty ,4 \right]\)， 使得\(h\left( {{x}_{2}} \right)=H\left( {{x}_{1}} \right)\)成立， 求实数\(k\)的取值范围．