试题 试卷
题型：解答题 题类：期中考试 难易度：较易
年份：2021
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已知集合\(A=\left\{\left.x\right|{{x}^{2}}-2x-3< 0\right\},B=\{\left.x\right|m< x< m+1\}.\)
\((1)\)当\(m=2\)时，求\(A∩B\)；
\((2)\)当\(A∩B=\varnothing\)时，求\(m\)的取值范围．
已知函数\(f(x)=1-\dfrac{1}{x}.\)
\((1)\)求证：函数\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上是增函数\((\)要求用定义证明\()\)；
\((2)\)若\(x\in[-2,-1]\)，求\(f(x)\)的最大值和最小值．
已知函数\(f(x)=-{{x}^{2}}+tx\)的定义域为\([-1,2].\)
\((1)\)求\(f(x)\)的最大值\(g(t)\)；
\((2)\)当\(g(t)=2\)时，求\(t\)的值．
定义在\((0,+\infty)\)的函数\(f(x)\)满足：\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，
\((1)\)求证：\(f\left(\dfrac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)\)；
\((2)\)如果\(f(2)=1\)，且当\(x>1\)时，恒有\(f(x)>0\)
①求证：\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增；
②解不等式：\(f(x)+f(x-3)\leqslant 2.\)
在①\(A\cup B=B\)；②\(A∩B=\varnothing\)；③\(A∩B=B\)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数\(a\)存在，求\(a\)的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合\(A=\left\{ x\left|\left(x-a\right)\left(x-a-1\right)< 0\right.\right\}\)，\(B=\left\{ x\left|-1< x< 1\right.\right\}\)，是否存在实数\(a\)，使得_____？
记函数\(f\left(x\right)=\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1}\)的定义域为集合\(A\)，函数\(g\left(x\right)={{x}^{2}}+2x+3\)的值域为集合\(B\)，\(U=\mathbf{R}\)，求：
\((1)A\)，\(B\)；
\((2)A∪B\)，\(A∩\left({∁}_{U}B\right).\)
\((1)\)已知\(a+{{a}^{-1}}=7\)，求\({{a}^{2}}+{{a}^{-2}}\text{ }\)及\({{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}}\)的值；
\((2)\)已知\(\lg 3=a\)，\(\lg 5=b\)，用\(a\)，\(b\)分别表示\({{\log}_{5}}3\)和\(\lg 3.6.\)
已知\(f\left(x\right)=x\cdot\left|x\right|\)，\(x\in\mathbf{R}.\)
\((1)\)求证：\(f\left(x\right)\)为奇函数；
\((2)\)设\(g\left(x\right)=f\left(x\right)+kx-k\)，\(k\in\mathbf{R}\)，求\(g\left(x\right)\)在区间\(\left[-2,2\right]\)上的最大值.
