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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

一农妇原有\(a _{0} ∈N*\)个鸡蛋，现分\(9\)次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{9}\)个．
\((\)Ⅰ\()\)如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，\(…\)，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求\(a _{9}\)，\(a _{8}\)，\(a _{7}\)，给出数列\(\{a _{n} \}\)的递公式并据此求出\(a _{0}\)；
\((\)Ⅱ\()\)鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋\(a _{0} =511\)个，是否存在\(p\)，\(q∈N*\)，\((p > 2)\)，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，第二次卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，第三次又卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，\(…\)，第九次仍然卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的\(p\)，\(q\)的值，如果不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

已知集合\(A\)为非空数集，定义\(A ^{+} =\{x|x=a+b , a , b∈A\}\)，\(A ^{-} =\{x|x=|a-b| , a , b∈A\}\)．
\((1)\)若集合\(A=\{-1 , 1\}\)，直接写出集合\(A ^{+}\)及\(A ^{-}\)；
\((2)\)若集合\(A=\{x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} \}\)，\(x _{1} < x _{2} < x _{3} < x _{4}\)，且\(A ^{-} =A\)，求证\(x _{1} +x _{4} =x _{2} +x _{3}\)；
\((3)\)若集\(A⊆\{x|0\leqslant x\leqslant 2020.x∈N\}\)，且\(A ^{+} ∩A ^{-} =\varnothing \)，求集合\(A\)中元素的个数的最大值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

非空集合\(A⊆R ^{+}\)，满足\(∀x∈A\)，总有\( \dfrac {1}{x} ∉A\)，记集合\(T(A)=\{(x , y)|x∈A\)，\(y∈A\)，\( \dfrac {x}{y} ∈A\}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(∀x∈A\)，\((x , x)∉T(A)\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(T(A)\)中只有\(1\)个元素\((a , b)\)，求证：\(a=b ^{2}\)；
\((\)Ⅲ\()\)若集合\(A=\{a , b , c , d , e\}\)，且\(a < b < c < d < e\)，\(T(A)\)中恰有\(10\)个元素，求证：\(c ^{2} =ae\)．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

设数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(2S _{n} =a _{n+1} -2 ^{n+1} +1\)，\(n∈N ^{*}\)，且\(a _{1}\)，\(a _{2} +5\)，\(a _{3}\)成等差数列．
\((1)\)证明\(\{ \dfrac {a_{n}}{2^{n}}+1\}\)为等比数列，并求数列\(\{a _{n} \}\)的通项；
\((2)\)设\(b _{n} =\log _{3} (a _{n} +2 ^{n} )\)，且\(T _{n} = \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+ \dfrac {1}{b_{3}b}_{4}+…+ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\)，证明\(T _{n} < 1\)．
\((3)\)在\((2)\)小问的条件下，若对任意的\(n∈N ^{*}\)，不等式\(b _{n} (1+n)-λn(b _{n} +2)-6 < 0\)恒成立，试求实数\(λ\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

已知等差数列\(\{a _{n} \}\)中，公差\(d=2\)，\(a _{2}\)是\(a _{1}\)和\(a _{4}\)的等比中项．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b _{n} =|11- \dfrac {1}{2} a _{n} |\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：填空题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

在数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{2} =5\)，\(a _{n+1} -a _{n} =2 ^{n} (n∈N*)\)，则数列\(\{a _{n} \}\)的通项\(a _{n} =\)______．

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题型：填空题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

函数\(y=\ln (x ^{2} -4x+3)\)的单调减区间为______．

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题型：填空题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是____．

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题型：选择题题类：期末考试难易度：难
新测
年份：2020

已知\(S\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)是球\(O\)表面上的点，\(SA\text{⊥}\)平面\(ABC\)，\(AB\text{⊥}BC\)，\(SA\text{=}AB\text{=}1\)，\(BC\text{=}\sqrt{2}\)，则球\(O\)的体积等于\((\) \()\)

A.\(\dfrac{\sqrt{3}\pi}{2}\) B.\(\dfrac{4\pi}{3}\) C.\(\dfrac{\sqrt{2}\pi}{3}\) D.\(\dfrac{\pi}{6}\)

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题型：填空题题类：期末考试难易度：难
新
年份：2020

若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ______．

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