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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

如图，在四棱锥\(A-BCDE\)中，\(BC/\!/DE\)，\(BE⊥BC\)，\(AB=BC=AC=2DE=2BE.\)
\((1)\)证明：\(AD⊥BC\)；
\((2)\)若平面\(BCDE⊥\)平面\(ABC\)，\(AB=2\)，经过\(A\)，\(D\)的平面\(α\)将四棱锥\(A-BCDE\)分成的左、右两部分的体积之比为\(1\)：\(2\)，求平面\(α\)截四棱锥\(A-BCDE\)的截面面积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2021

已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，且经过点\(Q(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\dfrac{1}{2}).\)
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)设过点\(F\)且不与坐标轴垂直的直线\(l\)与\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的垂直平分线与\(x\)轴交于点\(P\)，若点\(P\)到直线\(l\)的距离为\(\dfrac{2}{5}\)，求\(\triangle PAB\)的面积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2021

已知直角梯形\(ABCD\)，\(∠C=∠ADC=90°\)，\(AD=6\)，\(CD=CB=3\)，沿\(BD\)将\(\triangle ABD\)折起，使得\(A\)到\(P\)的位置，且平面\(PBD⊥\)平面\(BCD.\)
\((1)\)求证：\(PB⊥CD\)；
\((2)\)若\(E\)为棱\(PD\)上一点，且\(DE=\dfrac{1}{3}PE\)，求三棱锥\(B-PCE\)的体积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有\(2000\)位市民报名参加，其中男性\(1200\)人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了\(100\)位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在\(450～950\)分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于\(750\)分的得分者称为“高分选手”．
\((1)\)求\(a\)的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数\((\)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表\()\)；
\((2)\)若样本中属于“高分选手”的女性有\(15\)人，完成下列\(2×2\)列联表，并判断是否有\(97.5％\)的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
\((\)参考公式：\(K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d.)\)
\(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
\(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=3a_{n}-6.\)
\((1)\)记\(b_{n}=a_{n}-3\)，证明：\(\{b_{n}\}\)是等比数列，并求\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2021

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为等腰梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AD=CD=\dfrac{1}{2}AB=2\sqrt{3}\)，\(∠BAD=60°\)，\(PD=PB.\)
\((1)\)求证：\(BD⊥PC\)；
\((2)\)若\(PC=\sqrt{7}\)，平面\(PBD⊥\)平面\(ABCD\)，\(M\)是棱\(AP\)上一点，\(DM/\!/\)平面\(PBC\)，求三棱锥\(D-ABM\)的体积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过右焦点\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，且当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(|MN|=3.\)
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)设椭圆\(C\)的上顶点为\(B\)，线段\(MN\)的垂直平分线交\(x\)轴于点\(D\)，\(O\)为坐标原点，求\(\triangle OBD\)面积的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，且满足\(nS_{n}=An^{3}+3n^{2}+B.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若\(a_{m}\)，\(6-2Am\)，\(S_{3-5A+B}\)成等比数列，求正整数\(m\)的值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

椭圆\(E\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F(c,0)\)，规定直线\(x=\dfrac{a^{2}}{c}\)为椭圆\(E\)的右准线，椭圆\(E\)上的任意一点到右焦点\(F\)的距离与其到右准线的距离之比为\(\dfrac{c}{a}.\)已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1.\)
\((1)\)若点\(D(-1,1)\)，\(P\)是椭圆\(E\)上的任意一点，求\(|PD|+2|PF|\)的最小值；
\((2)\)若\(M\)，\(N\)分别是椭圆\(E\)的左、右顶点，过点\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点\((A,B\)非顶点\()\)，证明：直线\(AM\)与\(BN\)的交点在椭圆\(E\)的右准线上．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知椭圆\(C：\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为\(\sqrt{6}.\)
\((1)\)求该椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}|=|\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}|\)，求证：直线\(l\)与某个定圆\(E\)相切，并求出定圆\(E\)的方程．

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	属于“高分选手”	不属于“高分选手”	合计
男生
女生
合计

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)