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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

设\((1+2x) ^{k} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} +a _{3} x ^{3} +…+a _{k} x ^{k} (k\geqslant 2 , k∈N ^{*} ).\)
\((1)\)若展开式中第\(5\)项与第\(7\)项的系数之比为\(3\)：\(8\)，求\(k\)的值；
\((2)\)设\(k= \dfrac {n^{2}+n-2}{2} (n∈N ^{+} )\)，且各项系数\(a _{0}\)，\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{k}\)互不相同．现把这\(k+1\)个不同系数随机排成一个三角形数阵：第\(1\)列\(1\)个数，第\(2\)列\(2\)个数，\(…\)，第\(n\)列\(n\)个数．设\(t _{i}\)是第\(i\)列中的最小数，其中\(1\leqslant i\leqslant n\)，且\(i\)，\(n∈N ^{*} .\)记\(t _{1} > t _{2} > t _{3} > … > t _{n}\)的概率为\(P _{n} .\)求证：\(P _{n} > \dfrac {1}{2(n-1)!}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\(( \dfrac { \sqrt {3}}{2}, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)，且右焦点为\(F( \sqrt {2},0)\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)设过定点\(M(0 , 2)\)的直线\(l(\)与\(y\)轴不重合\()\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，且点\(B\)关于原点的对称点为\(N\)，\( \overrightarrow {AB}=λ \overrightarrow {AM}( \dfrac {1}{2}\leqslant λ < \dfrac {2}{3})\)，试求\(|AN|\)的最大值．

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2}{1+a_{n}}\)，则\((\:\:\:\:)\)

A.\(a _{2021} < a _{2019} < a _{2022} < a _{2020}\) B.\(a _{2021} < a _{2019} < a _{2020} < a _{2022}\) C.\(a _{2019} < a _{2021} < a _{2022} < a _{2020}\) D.\(a _{2019} < a _{2021} < a _{2020} < a _{2022}\)

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

如图，在平行四边形\(ABCD\)中，沿\(AC\)将\(\triangle ACD\)折成\(\triangle ACP\)，记异面直线\(PA\)与\(BC\)所成的角为\(α\)，直线\(PA\)与平面\(ABC\)所成的角为\(β\)，二面角\(P-AC-B\)为\(γ\)，当\( \dfrac {π}{2} < ∠PAD < π\)时，则\((\:\:\:\:)\)

A.\(α\geqslant β\geqslant γ\) B.\(α\geqslant γ\geqslant β\) C.\(γ\geqslant α\geqslant β\) D.\(γ\geqslant β\geqslant α\)

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

如图，过原点\(O\)的直线\(AB\)交椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)于\(A\)，\(B\)两点，过点\(A\)分别作\(x\)轴、\(AB\)的垂线\(AP.AQ\)交椭圆\(C\)于点\(P.Q\)，连接\(BQ\)交\(AP\)于一点\(M\)，若\( \overrightarrow {AM}= \dfrac {4}{5} \overrightarrow {AP}\)，则椭圆\(C\)的离心率是______．

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作\(《\)数书九章\(》\)中叙述了已知三角形的三条边长\(a\)，\(b\)，\(c\)，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为\(S= \sqrt { \dfrac {1}{4}[a^{2}c^{2}-( \dfrac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2})^{2}]} .\)已知\(\triangle ABC\)的三条边长为\(a\)，\(b\)，\(c\)，其面积为\(12\)，且\(a ^{2} +c ^{2} -b ^{2} =14\)，则\(\triangle ABC\)周长的最小值为\((\:\:\:\:)\)

A.\(12\) B.\(14\) C.\(16\) D.\(18\)

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知四面体\(ABCD\)满足：\(AB=BC=CD=DA=AC=1\)，\(BD= \sqrt {2}\)，则四面体\(ABCD\)外接球的表面积为______．

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知等比数列\(\{a _{n} \}\)的公比为\(q\)，且\(0 < a _{1} < 1\)，\(a _{2020} =1\)，则\(q\)的取值范围为______；能使不等式\((a_{1}- \dfrac {1}{a_{1}})+(a_{2}- \dfrac {1}{a_{2}})+…+(a_{m}- \dfrac {1}{a_{m}})\leqslant 0\)成立的最大正整数\(m=\)______．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知\(F _{1}\)，\(F _{2}\)分别为椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点，\(B\)为椭圆\(C\)短轴的端点，若\(\triangle BF _{1} F _{2}\)的面积为\( \sqrt {2}\)，且\(\cos ∠F_{1}BF_{2}= \dfrac {1}{3}\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)若动直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(P(x _{1} , y _{1} )\)，\(Q(x _{2} , y _{2} )\)，\(M\)为线段\(PQ\)的中点，且\(M\)在曲线\( \dfrac {2x^{2}}{3}+y^{2}=1\)上，设\(O\)为坐标原点．求\( \dfrac {\sin ∠OPQ}{\sin \angle POM}\)的范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{1} =6\)，\(a_{n+1}= \dfrac {1}{3} a_{ n }^{ 2 }-a_{n}+3 (n∈N ^{*} ).\)
\((1)\)分别比较下列每组中两数的大小：①\(a _{2}\)和\(6× \dfrac {3}{2}\)；②\(a _{3}\)和\(6×( \dfrac {3}{2})^{3}\)；
\((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，证明：\( \sum\limits_{i=2}^{n}( \dfrac {a_{i}}{6})^{ \frac {2}{i}} > 2( \dfrac {3}{2})^{n}-3\)．

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