题型：解答题 题类：模拟题 难易度：较难
年份：2018
对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法\(.\)利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．
例如，考察恒等式\((1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}(n∈N^{*})\)，左边\(x^{n}\)的系数为\(C_{2n}^{n}.\)而右边\((1+x)^{n}(1+x)^{n}=(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+…+C_{n}^{n}x^{n})(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+…+C_{n}^{n}x^{n})\)，
\(x^{n}\)的系数为\(C_{n}^{0}C_{n}^{n}+C_{n}^{1}C_{n}^{n\mathrm{{-}}1}+…+C_{n}^{n}C_{n}^{0}=(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+…+(C_{n}^{n})^{2}\)，因此，可得到组合恒等式\(C_{2n}^{n}=(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+…+(C_{n}^{n})^{2}\)．
\((1)\) 根据恒等式\((1+x)^{m+n}=(1+x)^{m}(1+x)^{n}(m,n∈N^{*})\)两边\(x^{k}(\)其中\(k∈N\)，\(k\leqslant m\)，\(k\leqslant n)\)的系数相同，直接写出一个恒等式\(;\)
\((2)\)利用算两次的思想方法或其他方法证明：\(\underset{\left\lbrack \dfrac{n}{2} \right\rbrack}{\overset{k{=}0}{\mathrm{{∑}}}}C_{n}^{2k}\mathrm{{·}}2^{n\mathrm{{-}}2k}\mathrm{{·}}C_{2k}^{k}{=}C_{2n}^{n}\mathrm{{,}}\mathrm{{其中}}\left\lbrack \dfrac{n}{2} \right\rbrack\mathrm{{是指不超过}}\dfrac{n}{2}\mathrm{{的最大整数}}\mathrm{{.}}\)
题型：解答题 题类：模拟题 难易度：较难
年份：2018
现有\(\dfrac{n\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)}}{2}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)个给定的不同的数随机排成一个如图所示的三角形数阵：设\(M_{k}\)是第\(k\)行中的最大数，其中\(1\leqslant k\leqslant n\)，\(k∈N^{*}\)，记\(M_{1} < M_{2} < … < M_{n}\)的概率为\(P_{n}\)．
\((1)\) 求\(P_{2}\)的值\(;\)
\((2)\) 求证：\(P_{n} > \dfrac{C_{n{+}1}^{2}}{\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)!}}\)．
题型：解答题 题类：模拟题 难易度：较难
年份：2018
\(20.\)记\((x+1)\times (x+\dfrac{1}{2})\times \cdots \times (x+\dfrac{1}{n})(n\geqslant 2\)且\(n\in {{N}^{*}})\)的展开式中含\(x\)项的系数为\({{S}_{n}}\)，含\({{x}^{2}}\)项的系数为\({{T}_{n}}\)．
\((1)\)求\({{S}_{n}}\)；
\((2)\)若\(\dfrac{{{T}_{n}}}{{{S}_{n}}}=a{{n}^{2}}+bn+c\)，对\(n=2,3,4\)成立，求实数\(a,b,c\)的值；
\((3)\)对\((2)\)中的实数\(a,b,c\)，用数学归纳法证明：对任意\(n\geqslant 2\)且\(n\in N*\)，\(\dfrac{{{T}_{n}}}{{{S}_{n}}}=a{{n}^{2}}+bn+c\)都成立．
