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\(2000\)多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯\((Apollonius)\)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线\(.\)已知圆锥的高为\(PH\)，\(AB\)为底面直径，顶角为\(2\theta \)，那么不过顶点\(P\)的平面：与\(PH\)夹角\(\alpha \)满足\(\dfrac{\pi }{2} > \alpha > \theta \)时，截口曲线为椭圆；与\(PH\)夹角\(\alpha =\theta \)时，截口曲线为抛物线；与\(PH\)夹角\(\alpha \)满足\(\theta > \alpha > 0\)时，截口曲线为双曲线\(.\)如图，底面内的直线\(AM\bot AB\)，过\(AM\)的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与\(PB\)的交点为\(C\)，可知\(AC\)为长轴\(.\)那么当\(C\)在线段\(PB\)上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为\((\)   \()\)

如图，在长方体\({ABCD}{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\({AB}{=}{BC}{=}2\)，\(AA_{1}{=}1\)，则\(BC_{1}\)与平面\(BB_{1}D_{1}D\)所成角的正弦值为 \((\)     \()\)