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题型：解答题题类：历年真题难易度：中档
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年份：2020

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AC=AB₁，B₁C∩BC₁=O．
（1）求证：B₁C⊥AB；
（2）若∠CBB₁=60°，AC=BC，三棱锥A-BB₁C的体积为1，且点A在侧面BB₁C₁C上的投影为点O，求三棱锥A-BB₁C的表面积．

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年份：2020

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，D，E分别是线段AB，BB₁的中点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥C-A₁DE的体积．

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年份：2020

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_na_n+1=2^pn+1（p为常数）．
（Ⅰ）若-a₁，成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）是否存在p，使得{a_n}为等比数列？若存在，求{a_n}的前n项和S_n；若不存在，请说明理由．

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年份：2020

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，BC=，AC=2，四边形ABB₁A₁为菱形，且∠ABB₁=60^o，AC⊥CC₁．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求BB₁与平面ABC的夹角正弦值．

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年份：2020

在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC=CD=DA=AB．
（1）证明：BC⊥PA；
（2）若PA=PC=AC=，Q在线段PB上，满足PQ=2QB，求三棱锥P-ACQ的体积．

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年份：2020

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，AB=2，P为A₁B₁的中点．
（1）证明：平面PA₁D⊥平面ABC₁；
（2）求多面体PA₁BDD₁的体积．

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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA=PD=，PB=PC=，∠APB=∠CPD=90°，点M，N分别是棱BC，PD的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

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年份：2020

已知椭圆C：的离心率为，且过点（2，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆x²+y²=2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM|=|PN|．

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年份：2020

已知椭圆的离心率为，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），△OMN的面积为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A在椭圆E内（异于原点），点B在椭圆E外．若过点B作斜率存在且不为0的直线与E相交于不同的两点P，Q，且满足∠PAB+∠QAB=180°．求证：点A，B的横坐标之积为定值．

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年份：2020

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=，S_n²-a_nS_n+a_n=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）若C_n=，设数列{C_n}的前n项和为T_n，求T_2n．

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