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题型：解答题题类：历年真题难易度：较易
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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB=BC=1，∠BAD=∠ABC=90°，∠ADC=45°，分别是AD，PD的中点．
（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面PAB；
（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面PAB所成角的余弦值．

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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角M-NC-D的余弦值．

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年份：2020

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA=．
（Ⅰ）证明：B₁C⊥AC₁；
（Ⅱ）若平面ABB₁A₁⊥平面ABC，M为A₁C₁的中点，求B₁C与平面AB₁M所成角的正弦值．

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年份：2020

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁，BB₁C₁C均为正方形，且A₁B₁⊥B₁C₁，M为CC₁的中点，N为A₁B的中点．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求二面角B-MN-B₁的正弦值；
（3）设P是棱B₁C₁上一点，若直线PM与平面MNB₁所成角的正弦值为，求的值．

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年份：2020

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，，点D，E分别为棱CC₁，AB的中点．
（1）求证：DE∥平面AB₁C₁；
（2）求直线BD与平面AB₁C₁所成角的正弦值．

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年份：2020

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，AB=，AD=2，AP=3．
（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；
（Ⅱ）在侧棱PC上是否存在点E，使BE与底面ABCD所成的角为45°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

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年份：2020

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AA₁=AB=2．
（1）求证：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（2）若∠BAD=60°，求OB与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

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年份：2020

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被经过BD₁的动平面α所截，α分别与棱CC₁，AA₁交于点M，N，得到截面BMD₁N，已知AB=BC=1，DD₁=．
（Ⅰ）求证：MN⊥BD；
（Ⅱ）若直线AB与截面BMD₁N所成角的正弦值为，求AN的长．

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年份：2020

如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图②．
（Ⅰ）求证：平面A₁EB⊥平面A₁ED；
（Ⅱ）若∠A₁ED=90°，求A₁C与平面A₁BD所成角的正弦值．

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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，PA=PC，AB∥CD，AB⊥AD，且CD=2AD=4AB=4．
（1）过BD作截面与线段PC交于点H，使得AP∥平面BDH，试确定点H的位置，并给出证明；
（2）在（1）的条件下，若二面角H-BD-C的大小为，试求直线DA与平面BDH所成角的正弦值．

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