题型：解答题 题类：期中考试 难易度：较易
新年份：2021
设椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left(a>b>0\right)\)的左焦点为\(F\)，离心率为\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，过点\(F\)且与\(x\)轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为\(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\)
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)设\(A\)，\(B\)分别为椭圆\(E\)的左、右顶点，过点\(F\)且斜率为\(k\)的直线与椭圆\(E\)交于点\(C\)，\(D\)两点，且\(\overrightarrow{AC}⋅\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}⋅\overrightarrow{CB}=\dfrac{52}{7}\)，求\(k\)的值．
题型：解答题 题类：期中考试 难易度：较易
新年份：2021
题型：解答题 题类：期中考试 难易度：较易
新年份：2021
如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧棱垂直于底面，\(∠ACB=90°\)，\(AC=BC=\dfrac{1}{2}AA_{1}\)，\(D\)是棱\(AA_{1}\)的中点．