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题型：解答题题类：历年真题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F₁，F₂，若四边形AF₁BF₂为正方形，且面积为2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l₁，l₂，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．

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题型：解答题题类：历年真题难易度：较难
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年份：2020

数列A：x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N₊），记满足不等式：x_n-x_t≥t^*（n-t）（∀n∈N₊，n≠t）的t^*构成的集合为T（t）．
（Ⅰ）若数列A：x_n=n²，写出集合T（2）；
（Ⅱ）如果T（t）（t∈N₊，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x₁，x₂，…，x_n，…为等差数列；
（Ⅲ）如果T（t）（t∈N₊，t＞1）为单元素集合，那么数列x₁，x₂，…，x_n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．

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年份：2020

已知动直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．
（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|=8，求直线l的斜率；
（2）设点P（x₀，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x₀的取值范围．

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年份：2020

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，BC=4，M，N，Q分别为BC，CD，AC的中点，以AC为折痕将△ACD折起，使点D到达点P位置（P∉平面ABC）．
（1）若H为直线QN上任意一点，证明：MH∥平面ABP；
（2）若直线AB与MN所成角为，求二面角A-PC-B的余弦值．

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年份：2020

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AB₁=2，AB₁⊥平面ABC，AC₁⊥AC，D，E分别是AC，B₁C₁的中点
（Ⅰ）证明：AC⊥B₁C₁；
（Ⅱ）证明：DE∥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求DE与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

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年份：2020

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．
（1）求p₁，q₁和p₂，q₂；
（2）求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E（X_n）（用n表示）．

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年份：2020

如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是线段PC的中点．
（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；
（2）若点F在线段PB上，使得二面角F-DE-B的正弦值为，求的值．

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年份：2020

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=-1，a_n＞0（n≥2），S_n=，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b_n}满足b₁=a₂，b₃=a₄．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

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年份：2020

已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的长轴长为4，离心率e=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆C上在第一象限的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．

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年份：2020

对于非负整数集合S（非空），若对任意x，y∈S，或者x+y∈S，或者|x-y|∈S，则称S为一个好集合，以下记|S|为S的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于3的好集合，（给出结论即可）
（2）求出所有满足|S|=4的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合S满足|S|=2019，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．

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