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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知点\(P\)是抛物线\(C _{1}\)：\(y ^{2} =4x\)的准线上任意一点，过点\(P\)作抛物线\(C _{1}\)的两条切线\(PA\)，\(PB\)，其中\(A\)，\(B\)为切点．
\((1)\)证明：直线\(AB\)过定点，并求出定点的坐标；
\((2)\)若直线\(AB\)交椭圆\(C _{2}\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3} =1\)于\(C\)，\(D\)两点，\(S _{1}\)，\(S _{2}\)分别是\(\triangle PAB\)，\(\triangle PCD\)的面积，求\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}\)的最小值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

设等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(5S _{5} =S _{10}\)，\(a _{4} =2a _{6} +20\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)满足\( \dfrac {b_{1}}{a_{1}} + \dfrac {b_{2}}{a_{2}} +…+ \dfrac {b_{n}}{a_{n}} = \dfrac {1}{2^{n}} -1\)，\(n∈N*\)，证明：\(b _{n} \leqslant \dfrac {5}{8}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

过抛物线\(C\)：\(y ^{2} =2px(p > 0)\)的焦点\(F\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{3}\)的直线交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，交其准线于点\(C\)，且\(|AF|=|FC|\)，\(|BC|=2\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(D\)、\(E\)两点，且这两点位于\(x\)轴两侧，与\(x\)轴交于点\(M\)，若\( \overrightarrow {OD} \boldsymbol{⋅} \overrightarrow {OE}=4\)，求\(S _{\triangle DFO} +S _{\triangle DOE}\)的最小值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)，\(a _{1} =1\)，\(a _{n+1} =2a _{n} -n ^{2} +3n(n∈N ^{*} ).\)
\((\)Ⅰ\()\)是否存在常数\(λ\)，\(μ\)，使得数列\(\{a _{n} +λn ^{2} +μn\}\)是等比数列，若存在，求出\(λ\)，\(μ\)的值，若不存在，说明理由．
\((\)Ⅱ\()\)设\(b _{n} = \dfrac {1}{a_{n}+n-2^{n-1}},S_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+…+b_{n}\)，证明：当\(n\geqslant 2\)时，\( \dfrac {n}{n+1} < S_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)，过点\(A(2 , 1)\)，且该椭圆的短轴端点与两焦点\(F _{1}\)，\(F _{2}\)的张角为直角．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(B(0 , 3)\)且斜率大于\(0\)的直线与椭圆\(E\)相交于点\(P\)，\(Q\)，直线\(AP\)，\(AQ\)与\(y\)轴相交于\(M\)，\(N\)两点，求\(|BM|+|BN|\)的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知数列\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{10}\)满足：对任意的\(i\)，\(j∈\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10\}\)，若\(i\neq j\)，则\(a _{i} \neq a _{j}\)，且\(a _{i} ∈\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10\}\)，设集合\(A=\{a _{i} +a _{i+1} +a _{i+2} |i=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8\}\)，集合\(A\)中元素最小值记为\(m(A)\)，集合\(A\)中元素最大值记为\(n(A).\)如数列：\(7\)，\(6\)，\(2\)，\(8\)，\(3\)，\(4\)，\(9\)，\(1\)，\(5\)，\(10\)时，\(A=\{13 , 14 , 15 , 16\}\)，\(m(A)=13\)，\(n(A)=16\)．
\((1)\)已知数列：\(10\)，\(6\)，\(1\)，\(2\)，\(7\)，\(8\)，\(3\)，\(9\)，\(5\)，\(4\)，写出集合\(A\)及\(m(A)\)，\(n(A)\)；
\((2)\)求证：不存在 \(m(A)\geqslant 18\)；
\((3)\)求\(m(A)\)的最大值以及\(n(A)\)的最小值，并说明理由．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
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年份：2020

已知等差数列\(\{a _{n} \}\)的首项\(a _{1} =1\)，公差\(d=1\)，前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(b_{n}= \dfrac {1}{S_{n}}\)，
\((1)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求证：\(b _{1} +b _{2} +…+b _{n} < 2\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

已知点\(P (-1, \dfrac {3}{2})\)是椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上一点，\(F _{1}\)、\(F _{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，\(|PF _{1} |+|PF _{2} |=4\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)设直线\(l\)不经过\(P\)点且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点．若直线\(PA\)与直线\(PB\)的斜率之和为\(1\)，问：直线\(l\)是否过定点？证明你的结论．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
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年份：2020

设\(D\)是函数\(y=f(x)\)定义域的一个子集，若存在\(x _{0} ∈D\)，使得\(f(x _{0} )=-x _{0}\)成立，则称\(x _{0}\)是\(f(x)\)的一个“准不动点”，也称\(f(x)\)在区间\(D\)上存在准不动点．已知\(f(x)=\log _{ \frac {1}{2}}(4^{x}+a\cdot 2^{x}-1),x∈[0,1]\)．
\((1)\)若\(a=1\)，求函数\(f(x)\)的准不动点；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\([0 , 1]\)上存在准不动点，求实数\(a\)的取值范围．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，点\(M(0 , 1)\)在椭圆\(E\)上，过点\(N(2 , 0)\)作斜率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)的直线恰好与椭圆\(E\)有且仅有一个公共点．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的标准方程；
\((\)Ⅱ\()\)设点\(P\)为椭圆\(E\)的长轴上的一个动点，过点\(P\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)的直线交椭圆\(E\)于不同的两点\(A\)，\(B\)，是否存在常数\(k\)，使\(|PA|^{2}, \dfrac {a^{2}+1}{2},|PB|^{2}\)成等差数列？若存在，求出\(k\)的值：若不存在，请说明理由．

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