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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

已知\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(c\cos A+a\cos C=3a.\)
\((1)\)求\(\dfrac{a}{b}\)的值；
\((2)\)若\(a=1\)，\(c=\sqrt{6}\)，求\(\triangle ABC\)外接圆的面积．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2021

为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为\(120\)的样本，测量树苗高度\((\)单位：\(cm)\)，经统计，其高度均在区间\([19,31]\)内，将其按\([19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]\)分成\(6\)组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为\(27cm\)及以上的树苗为优质树苗．
\((1)\)求图中\(a\)的值；
\((2)\)已知所抽取的这\(120\)棵树苗来自于\(A\)，\(B\)两个试验区，部分数据如下列联表：
\(A\)试验区 \(B\)试验区合计
优质树苗 \(20\)
非优质树苗 \(60\)
合计
将列联表补充完整，并判断是否有\(99.9％\)的把握认为优质树苗与\(A\)，\(B\)两个试验区有关系，并说明理由；
\((3)\)用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取\(4\)棵，其中优质树苗的棵数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望\(EX.\)
下面的临界值表仅供参考：
\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
\(k_{0}\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)
\((\)参考公式：\(K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d.)\)

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年份：2021

数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，且\(S_{n}+S_{n+1}=a_{n+1}^{2}.\)
\((1)\)证明：数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}+b_{n+1}=a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(2n\)项和\(T_{2n}.\)

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年份：2021

已知函数\(f(x)=\log_{4}(4^{x}+1)+kx\)是偶函数．
\((1)\)求实数\(k\)的值；
\((2)\)若函数\(g(x)=\log_{4}(a\boldsymbol{⋅}2^{x}-\dfrac{4}{3}a)\)，函数\(F(x)=f(x)-g(x)\)只有一个零点，求实数\(a\)的取值范围．

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年份：2021

随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注\(.\)因此，\(2019\)年\(6\)月\(25\)日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用\(.\)市环卫局在\(A\)、\(B\)两个小区分别随机抽取\(6\)户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周\((7\)天\()\)进行生活垃圾分类占用时间统计如表：
住户编号 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(A\)小区\((\)分钟\()\) \(220\) \(180\) \(210\) \(220\) \(200\) \(230\)
\(B\)小区\((\)分钟\()\) \(200\) \(190\) \(240\) \(230\) \(220\) \(210\)
\((1)\)分别计算\(A\)、\(B\)小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
\((2)\)如果两个小区住户均按照\(1000\)户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①\(A\)小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每\(200\)位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照\(3000\)元\((\)按照\(28\)天计算标准\()\)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②\(B\)小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于\(4\)位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员\((\)每天工作\(8\)小时\()\)月工资按照\(4000\)元\((\)按照\(28\)天计算标准\()\)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？

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年份：2021

已知\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC=4\)，\(\sin A=\dfrac{\sqrt{15}}{8}\)，内角\(A\)为锐角，点\(D\)为\(AB\)延长线上一点，\(BD=2\)，连接\(CD.\)
\((1)\)求边\(BC\)的长；
\((2)\)求\(\triangle BDC\)的面积．

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年份：2021

已知几何体\(ABCDEF\)中，平面\(ABCD⊥\)平面\(CDEF\)，\(ABCD\)是边长为\(4\)的菱形，\(∠BCD=60°\)，\(CDEF\)是直角梯形，\(EF/\!/CD\)，\(ED⊥CD\)，且\(EF=ED=2.\)
\((1)\)求证：\(AC⊥BE\)；
\((2)\)求平面\(ADE\)与平面\(BCF\)所成角的余弦值．

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年份：2021

某公司为了解用户对其产品的满意程度，采用分层抽样的方法从\(A\)，\(B\)两个地区共抽取了\(500\)名用户，请用户根据满意程度对该公司品评分，该公司将收集到的数据按照\([20,40),[40,60),[60,80),[80,100]\)分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
已知\(A\)地区用户约为\(40000\)人，\(B\)地区用户约为\(10000\)人．
\((Ⅰ)\)求该公司采用分层抽样的方法从\(A\)，\(B\)两个地区分别抽取的用户人数；
\((Ⅱ)\)根据频率分布直方图，估计\(B\)地区所有用户中，对该产品评分不低于\(80\)分的用户的人数；
\((Ⅲ)\)根据频率分布直方图，估计\(A\)地区抽取的\(400\)名用户对该公司产品的评分的平均值为\(μ_{1}\)，\(B\)地区抽取的\(100\)名用户对该公司产品的评分的平均值为\(μ_{2}\)，以及\(A\)，\(B\)两个地区抽取的\(500\)名用户对该公司产品的评分的平均值为\(μ_{0}\)，试比较\(μ_{0}\)和\(\dfrac{μ_{1}+μ_{2}}{2}\)的大小．\((\)结论不要求证明\()\)

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年份：2021

已知集合\(R^{n}=\{(x_{1},x_{2},⋯,x_{n})|x_{i}\in R,i=1,2,⋯,n\}(n\geqslant 1)\)，定义\(R^{n}\)上两点\(A(a_{1},a_{2},⋯,a_{n})\)，\(B(b_{1},b_{2},⋯,b_{n})\)的距离\(d(A,B)=\sum\limits_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|.\)
\((Ⅰ)\)当\(n=2\)时，若\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，求\(d(A,B)\)的值；
\((Ⅱ)\)当\(n=2\)时，证明\(R^{2}\)中任意三点\(A\)，\(B\)，\(C\)满足关系\(d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(C,B)\)；
\((Ⅲ)\)当\(n=3\)时，设\(A(0,0,0)\)，\(B(4,4,4)\)，\(P(x,y,z)\)，其中\(x\)，\(y\)，\(z\in Z\)，\(d(A,P)+d(P,B)=d(A,B).\)求满足\(P\)点的个数\(n\)，并证明从这\(n\)个点中任取\(11\)个点，其中必存在\(4\)个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于\(\dfrac{8}{3}.\)

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年份：2021

已知\(f(x)=\sin x+\cos x\)，\(g(x)=\sqrt{2}\sin(x-\dfrac{π}{4}).\)
\((1)\)若\(y=f^{2}(x)-1+af(x)g(x)\)的图象关于直线\(x=-\dfrac{π}{8}\)对称，求实数\(a\)的值；
\((2)\)在\(\triangle ABC\)中，已知\(\dfrac{c}{f(C)-g(C)}=a\cos B+b\cos A\)，\(c=\sqrt{17}\)，\(\triangle ABC\)的面积为\(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，求\(\triangle ABC\)的周长．

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	\(A\)试验区	\(B\)试验区	合计
优质树苗		\(20\)
非优质树苗	\(60\)
合计

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

住户编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(A\)小区\((\)分钟\()\)	\(220\)	\(180\)	\(210\)	\(220\)	\(200\)	\(230\)
\(B\)小区\((\)分钟\()\)	\(200\)	\(190\)	\(240\)	\(230\)	\(220\)	\(210\)