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已知椭圆的焦点在\(y\)轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为\(8\)，焦距为\(2\sqrt{15}\)，则此椭圆的标准方程为__________.

已知\(A(2,\sqrt{2})\)是椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{m}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\)上一点，\(F\)是椭圆的右焦点，设点\(F\)到直线\(x=4\)的距离为\(d\)，则\(\dfrac{\left|AF\right|}{d}=\)__________.

已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)的左、右焦点，\(P\)是椭圆上一点\((\)异于左、右顶点\()\)，若存在以\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}c\)为半径的圆内切于\(\triangle PF_{1}F_{2}\)，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{y}^{2}}}{m}+\dfrac{{{x}^{2}}}{m-4}=1(m>4)\)，点\(A(-2,2)\)是椭圆内一点，\(B(0,-2)\)，若椭圆上存在一点\(P\)，使得\(|PA|+|PB|=8\)，则\(m\)的取值范围是__________；当\(m\)取得最大值时，椭圆的离心率为__________\(. \)

求满足下列条件的椭圆的标准方程：

\((1)\)焦点在\(y\)轴上，焦距是\(4\)，且经过点\(M(3,2)\)；
\((2)\)离心率为\(\dfrac{5}{13}\)，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为\(26.\)

已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)经过点\((0,1)\)，\(\left(\sqrt{3},\dfrac{1}{2}\right).\)

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)若直线\(l\)：\(x-y-1=0\)交椭圆\(E\)于两个不同的点\(A\)，\(B\)，\(O\)是坐标原点，求\(\triangle AOB\)的面积\(S.\)

设椭圆\(E\)的方程为：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)，点\(O\)为坐标原点，点\(A\)的坐标为\((a,0)\)，点\(B\)的坐标为\((0,b)\)，点\(M\)在线段\(AB\)上，满足\(|BM|=2|MA|\)，直线\(OM\)的斜率为\(\dfrac{\sqrt{5}}{10}.\)

\((1)\)求椭圆\(E\)的离心率\(e\)；
\((2)\)设点\(C\)的坐标为\((0,-b)\)，\(N\)为线段\(AC\)的中点，证明：\(MN⊥AB.\)

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0)\)，过\(F_{2}\)作垂直于\(x\)轴的直线\(l\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，且满足\(\left|A{{F}_{2}}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{6}c.\)

\((1)\)求椭圆\(C\)的离心率；
\((2)M\)，\(N\)是椭圆\(C\)短轴的两个端点，设点\(P\)是椭圆\(C\)上一点\((\)异于椭圆\(C\)的顶点\()\)，直线\(MP\)，\(NP\)分别与\(x\)轴相交于\(R\)，\(Q\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(|OR|·|OQ|=8\)，求椭圆\(C\)的方程．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，且过点\(E(1,\dfrac{3}{2}).\)

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)若点\(A\)，\(B\)分别是椭圆的左、右顶点，直线\(l\)经过点\(B\)且垂直于\(x\)轴，点\(P\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，直线\(AP\)交\(l\)于点\(M\)，如图所示．设直线\(OM\)的斜率为\(k_{1}\)，直线\(BP\)的斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．

已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\)的一个顶点为\(A(0,-3)\)，右焦点为\(F\)，且\(|OA|=|OF|\)，其中\(O\)为原点．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)已知点\(C\)满足\(3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}\)，点\(B\)在椭圆上\((B\)异于椭圆的顶点\()\)，直线\(AB\)与以\(C\)为圆心的圆相切于点\(P\)，且\(P\)为线段\(AB\)的中点，求直线\(AB\)的方程．