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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，侧面\(PAB\)是等腰直角三角形，\(BC⊥\)平面\(PAB\)，\(PA=PB\)，\(AB=BC=2\)，\(AD=BD= \sqrt {5}\)．
\((1)\)求证：\(PA⊥\)平面\(PBC\)：
\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(PAD\)所成的角的正弦值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

在\(\triangle ABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边长分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\( \dfrac {2\tan B}{\tan A+\tan B}= \dfrac {b}{c}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求角\(A\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a= \sqrt {13}\)，\(b=3\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：易
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年份：2020

“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占\(80\%.\)现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出\(200\)人，并将这\(200\)人按年龄\((\)单位：岁\()\)分组：第\(1\)组\([15 , 25)\)，第\(2\)组\([25 , 35)\)，第\(3\)组\([35 , 45)\)，第\(4\)组\([45 , 55)\)，第\(5\)组\([55 , 65]\)，得到的频率分布直方图如图所示．
\((\)Ⅰ\()\)求这\(200\)人的平均年龄\((\)每一组用该组区间的中点值作为代表\()\)和年龄的中位数\((\)保留一位小数\()\)；
\((\)Ⅱ\()\)现在要从年龄在第\(1\)，\(2\)组的人员中用分层抽样的方法抽取\(5\)人，再从这\(5\)人中随机抽取\(3\)人进行问卷调查，求抽取的\(3\)人中恰有\(2\)人的年龄在第\(2\)组中的概率；
\((\)Ⅲ\()\)若从所有参与调查的人\((\)人数很多\()\)中任意选出\(3\)人，设这\(3\)人中关注生态文明建设的人数为\(X\)，求随机变量\(X\)的分布列与数学期望．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知函数\(f(x)=\cos (ωx+ \dfrac {π}{6} )(0 < ω < 3)\)的零点为\(x= \dfrac {π}{6}\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的最小正周期；
\((2)\)求函数\(f(x)\)在\([-π , 0]\)上的单调递减区间．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

在\(\triangle ABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\( \sqrt {3} (b\cos C-a)=c\sin B\)，\(b=2 \sqrt {3}\)．
\((1)\)求\(B\)；
\((2)\)若\(a+c=4\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(a _{1} =1\)，\((n-1)S _{n} =nS _{n-1} +(n-1)n(n∈N _{+} , n\geqslant 2)\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {S_{n}}{n}\}\)为等差数列；
\((2)\)记数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，求\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

已知函数\( \overrightarrow {a}=(2\sin x,\sin x-\cos x), \overrightarrow {b}=( \sqrt {3}\cos x,\cos x+\sin x),f(x)= \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的最小正周期及\(f(x)\)在区间\([0, \dfrac {π}{2}]\)上的最大值和最小值；
\((2)\)若\(f(x_{0})= \dfrac {6}{5},x_{0}∈[ \dfrac {π}{4}, \dfrac {π}{2}]\)，求\(\cos 2x _{0}\)的值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

设关于\(x\)的方程\(x ^{2} -mx-1=0\)有两个实根\(α\)、\(β\)，且\(α < β.\)定义函数\(f(x)= \dfrac {2x-m}{x^{2}+1}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(αf(α)+βf(β)\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)判断\(f(x)\)在区间\((α , β)\)上的单调性，并加以证明；
\((\)Ⅲ\()\)对\(∀x _{1}\)，\(x _{2} ∈(α , β)\)，证明不等式：\(|f(x _{1} )-f(x _{2} )| < |α-β|\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

过抛物线\(C\)：\(y ^{2} =2px(p > 0)\)的焦点\(F\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{3}\)的直线交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，交其准线于点\(C\)，且\(|AF|=|FC|\)，\(|BC|=2\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(D\)、\(E\)两点，且这两点位于\(x\)轴两侧，与\(x\)轴交于点\(M\)，若\( \overrightarrow {OD} \boldsymbol{⋅} \overrightarrow {OE}=4\)，求\(S _{\triangle DFO} +S _{\triangle DOE}\)的最小值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

在直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点\(O\)为圆心的圆与直线：\(x- \sqrt {3} y=4\)相切．
\((\)Ⅰ\()\)求圆\(O\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)圆\(O\)与\(x\)轴相交于\(A\)、\(B\)两点，圆内的动点\(P\)使\(|PA|\)、\(|PO|\)、\(|PB|\)成等比数列，求\( \overrightarrow {PA} \boldsymbol{⋅} \overrightarrow {PB}\)的取值范围．

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