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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

设函数\(f(x)=\cos x\boldsymbol{⋅}\sin (x+ \dfrac {π}{3} )- \sqrt {3} \cos ^{2} x+ \dfrac { \sqrt {3}}{4}\)，\(x∈R\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的最小正周期和对称中心；
\((2)\)若函数\(f(x)\)的图象向左平移\( \dfrac {π}{4}\)个单位得到函数\(g(x)\)的图象，求函数\(g(x)\)在区间\([- \dfrac {π}{6}, \dfrac {π}{4}]\)上的值域．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(2\sin ^{2} \dfrac {A-B}{2} +2\cos ^{2} \dfrac {A+B}{2} +2\cos A\cos B=1\)．
\((1)\)求角\(C\)的大小；
\((2)\)若\(c=4\)，\(| \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} |= \sqrt {38} .\)求\(\triangle ABC\)的周长．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知\(f(x)\)为二次函数，且函数\(f(x)-2x\)有两个零点\(1\)与\(3\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(f(x)\)的图象过点\((2 , 1)\)，求\(f(x)\)的解析式；
\((\)Ⅱ\()\)求\( \dfrac {f(x)}{x}\)在区间\([1 , 3]\)上的最值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知函数\(f(x)=4 ^{x} +n\boldsymbol{⋅}4 ^{-x}\)为奇函数，\(g(x)=\log _{2}(2^{x}+1)+mx\)为偶函数．
\((\)Ⅰ\()\)求\(mn\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若不等式\(f(x) > g(\log _{2} a)+\log _{2} \sqrt {a}\)在区间\([1 , +∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知函数\(f(x)=2\sin (ωx+φ)(ω > 0,|φ| < \dfrac {π}{2})\)的最小正周期为\(π\)，且图象经过点\((0 , 1)\)，求函数\(f(x)\)在区间\([ - \dfrac {π}{3} , 0]\)上的值域．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形\(ABCD\)区域为生活区，\(AC\)为横穿村庄的一条道路，\(\triangle ADE\)区域为休闲公园，\(BC=200m\)，\(∠ACB=∠AED=60°\)，\(\triangle ABC\)的外接圆直径为\( \dfrac {200 \sqrt {57}}{3}m\)．
\((\)Ⅰ\()\)求道路\(AC\)的长；
\((\)Ⅱ\()\)该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

如图\(1\)，在长方形\(ABCD\)中，\(AB= \dfrac {1}{2}BC= \sqrt {2}\)，\(E\)，\(F\)分别为\(AD\)、\(BC\)的中点，\(G\)为\(ED\)的中点，点\(H\)在线段\(AF\)上，且满足\(AH=λAF.\)将正方形\(ABFE\)沿\(EF\)折起，使得直线\(EF\)与平面\(ABCD\)间的距离为\(1\)，得到如图\(2\)所示的三棱柱\(AED-BFC\)．
\((1)\)求证：\(AF⊥\)平面\(BED\)：
\((2)\)若三棱锥\(G-HFC\)的体积为\( \dfrac { \sqrt {2}}{6}\)，求\(λ\)的值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，点\(M(0 , 1)\)在椭圆\(E\)上，过点\(N(2 , 0)\)作斜率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)的直线恰好与椭圆\(E\)有且仅有一个公共点．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的标准方程；
\((\)Ⅱ\()\)设点\(P\)为椭圆\(E\)的长轴上的一个动点，过点\(P\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)的直线交椭圆\(E\)于不同的两点\(A\)，\(B\)，是否存在常数\(k\)，使\(|PA|^{2}, \dfrac {a^{2}+1}{2},|PB|^{2}\)成等差数列？若存在，求出\(k\)的值：若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：易
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年份：2020

已知如图\(1\)，在\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，\(∠ACB=30°\)，\(∠ABC=90°\)，\(D\)为\(AC\)中点，\(AE⊥BD\)于\(E\)，延长\(AE\)交\(BC\)于\(F\)，将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)折起，使平面\(ABD⊥\)平面\(BCD\)，如图\(2\)所示．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AE⊥\)平面\(BCD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-DC-B\)的余弦值；
\((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(B-AEF\)与四棱锥\(A-FEDC\)的体积的比\((\)只需写出结果，不要求过程\()\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：难
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年份：2020

如图，设\(A\)是由\(n×n\)个实数组成的\(n\)行\(n\)列的数表，其中\(a _{ij} (i , j=1 , 2 , 3 , … , )n\)表示位于第\(i\)行第\(j\)列的实数，且\(a _{ij} ∈\{1 , -1\}.\)记\(S(n , n)\)为所有这样的数表构成的集合．对于\(A∈(n , n)\)，记\(r _{i} (A)\)为\(A\)的第\(i\)行各数之积，\(c _{j} (A)\)为\(A\)的第\(j\)列各数之积．令\(I(A)= \sum\limits_{i=1}^{n}r_{i}(A)+ \sum\limits_{j=1}^{n}C_{j}(A)\)．

\(a _{11}\) \(a _{12}\) \(…\) \(a _{1n}\)

\(a _{21}\) \(a _{22}\) \(…\) \(a _{2n}\)

\(…\) \(…\) \(…\) \(…\)

\(a _{n1}\) \(a _{n2}\) \(…\) \(a _{nn}\)

\((\)Ⅰ\()\)请写出一个\(A∈S(4 , 4)\)，使得\(l(A)=0\)；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在\(A∈S(9 , 9)\)，使得\(l(A)=0\)？说明理由；
\((\)Ⅲ\()\)给定正整数\(n\)，对于所有的\(A∈S(n , n)\)，求\(l(A)\)的取值集合．

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