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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知函数\(f(x)=\sin x(\sin x+ \sqrt {3} \cos x)\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的最小正周期；
\((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在\(x∈[0 , π]\)上的单调增区间．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA=PB=AD=CD= \dfrac {1}{2} BC=2\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，\(E\)是\(PA\)的中点，平面\(PAB⊥\)平面\(ABCD\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(PB⊥CE\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(CE\)与平面\(PBC\)所成的角的正弦值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，且经过点\(A( \dfrac { \sqrt {3}}{2} , \dfrac { \sqrt {3}}{2} ).\)
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)若不过坐标原点的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(M\)、\(N\)两点，且满足\( \overrightarrow {OM}+ \overrightarrow {ON}=λ \overrightarrow {OA}\)，求\(\triangle MON\)面积最大时直线\(l\)的方程．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

在①\(a=2\)，②\(B= \dfrac {π}{4}\)，③\(c= \sqrt {3} b\)这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在\(\triangle ABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，且满足\((b-a)(\sin B+\sin A)= c( \sqrt {3}\sin B-\sin C)\)．
\((1)\)求\(A\)的大小；
\((2)\)已知_______，_______，若\(\triangle ABC\)存在，求\(\triangle ABC\)的面积；若\(\triangle ABC\)不存在，说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(BC⊥\)平面\(PAB\)，\(PA=PB=AB=BC=2AD=2\)，点\(E\)为线段\(PB\)的中点．
\((1)\)求证：平面\(DAE⊥\)平面\(PBC\)；
\((2)\)求三棱锥\(D-ACE\)的体积．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)是各项均为正数的等比数列，\(a _{3} = \dfrac {1}{16}\)，\(a _{1} -a _{2} = \dfrac {1}{8}\)，数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{1} =-3\)，且\(1+b _{n+1}\)与\(1-b _{n}\)的等差中项是\(a _{n}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若\(c _{n} =(-1) ^{n} b _{n}\)，\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求\(S _{2n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)的右焦点\(F(1 , 0)\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)是椭圆上任意三点，\(A\)，\(B\)关于原点对称且满足\(k _{AC} ⋅k _{BC} =- \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程．
\((2)\)若斜率为\(k\)的直线与圆：\(x ^{2} +y ^{2} =1\)相切，与椭圆\(E\)相交于不同的两点\(P\)、\(Q\)，求\(|PQ|\geqslant \dfrac {4 \sqrt {3}}{5}\)时，求\(k\)的取值范围．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\((\sin A+\sin C)(\sin A-\sin C)=(\sin A-\sin B)\sin B\)．
\((1)\)求角\(C\)；
\((2)\)若\(c= \sqrt {5}\)，且\(\sin C+\sin (C+2A)=\sin 2A\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
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年份：2020

已知点\(P (-1, \dfrac {3}{2})\)是椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上一点，\(F _{1}\)、\(F _{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，\(|PF _{1} |+|PF _{2} |=4\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)设直线\(l\)不经过\(P\)点且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点．若直线\(PA\)与直线\(PB\)的斜率之和为\(1\)，问：直线\(l\)是否过定点？证明你的结论．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(a _{1} =2\)，\(a _{2} =3\)，令\(b _{n} =S _{n} +a _{n}\)，且数列\(\{b _{n} \}\)为等差数列．
\((1)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式\(b _{n}\)；
\((2)\)设数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，求证：\(T_{n} < \dfrac {1}{16}\)．

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