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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，侧面\(PAB\)是等腰直角三角形，\(BC⊥\)平面\(PAB\)，\(PA=PB\)，\(AB=BC=2\)，\(AD=BD= \sqrt {5}\)．
\((1)\)求证：\(PA⊥\)平面\(PBC\)：
\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(PAD\)所成的角的正弦值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

已知函数\( \overrightarrow {a}=(2\sin x,\sin x-\cos x), \overrightarrow {b}=( \sqrt {3}\cos x,\cos x+\sin x),f(x)= \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的最小正周期及\(f(x)\)在区间\([0, \dfrac {π}{2}]\)上的最大值和最小值；
\((2)\)若\(f(x_{0})= \dfrac {6}{5},x_{0}∈[ \dfrac {π}{4}, \dfrac {π}{2}]\)，求\(\cos 2x _{0}\)的值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

设关于\(x\)的方程\(x ^{2} -mx-1=0\)有两个实根\(α\)、\(β\)，且\(α < β.\)定义函数\(f(x)= \dfrac {2x-m}{x^{2}+1}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(αf(α)+βf(β)\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)判断\(f(x)\)在区间\((α , β)\)上的单调性，并加以证明；
\((\)Ⅲ\()\)对\(∀x _{1}\)，\(x _{2} ∈(α , β)\)，证明不等式：\(|f(x _{1} )-f(x _{2} )| < |α-β|\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

在直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点\(O\)为圆心的圆与直线：\(x- \sqrt {3} y=4\)相切．
\((\)Ⅰ\()\)求圆\(O\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)圆\(O\)与\(x\)轴相交于\(A\)、\(B\)两点，圆内的动点\(P\)使\(|PA|\)、\(|PO|\)、\(|PB|\)成等比数列，求\( \overrightarrow {PA} \boldsymbol{⋅} \overrightarrow {PB}\)的取值范围．

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题型：填空题题类：月考试卷难易度：中档
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年份：2020

在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA⊥\)平面\(ABC\)，\(PA=AB=1\)，\(BC=2\)，\(∠BAC\geqslant \dfrac {π}{2}\)，\(M\)是线段\(BC\)上的动点，记直线\(PM\)与平面\(ABC\)所成的角为\(θ\)，若\(\tan θ\)的最大值为\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，\(E\)为线段\(AC\)的中点，过点\(E\)作三棱锥\(P-ABC\)外接球的截面，则该截面面积的取值范围为______．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知公比大于\(1\)的等比数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{2} +a _{3} =12\)，\(a _{4} =16\)，\(b _{n} =\log _{2} a _{n}\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)、\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求\(c_{n}= \dfrac {(n-1)a_{n}}{2S_{n}}(n∈N^{*})\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((1, \dfrac {3}{2})\)且离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)若\(A _{1}\)，\(A _{2}\)分别为\(C\)的左、右顶点，\(G\)为直线\(x=1\)上的任意一点，直线\(GA _{1}\)，\(GA _{2}\)分别与\(C\)相交于\(M\)、\(N\)两点，连接\(MN\)，试证明直线\(MN\)过定点，并求出该定点的坐标．

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题型：填空题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知函数\(f(x)=\sin ωx\cos ωx+\sin ^{2} ωx- \dfrac {1}{2} (ω > 0)\)，若对满足\(f(x _{1} )= \dfrac { \sqrt {2}}{2},f(x_{2})=- \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)的\(x _{1}\)，\(x _{2}\)，有\(|x _{1} -x _{2} |\)最小值为\( \dfrac {π}{2} .\)若将其图象沿\(x\)轴向右平移\( \dfrac {π}{4}\)个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍\((\)纵坐标不变\()\)，得到函数\(y=g(x)\)的解析式为______．

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：中档
新测
年份：2020

设等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，若\(S_{13}= \dfrac {13π}{4}\)，则\(\cos ^{2}a_{5}+\cos ^{2}a_{7}+\cos ^{2}a_{9} = (\:\:\:\:)\)

A.\(1\) B.\( \dfrac {3}{2}\) C.\( \dfrac {5}{2}\) D.\(2\)

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

如图\(1\)，在长方形\(ABCD\)中，\(AB= \dfrac {1}{2}BC= \sqrt {2}\)，\(E\)，\(F\)分别为\(AD\)、\(BC\)的中点，\(G\)为\(ED\)的中点，点\(H\)在线段\(AF\)上，且满足\(AH=λAF.\)将正方形\(ABFE\)沿\(EF\)折起，使得直线\(EF\)与平面\(ABCD\)间的距离为\(1\)，得到如图\(2\)所示的三棱柱\(AED-BFC\)．
\((1)\)求证：\(AF⊥\)平面\(BED\)：
\((2)\)若三棱锥\(G-HFC\)的体积为\( \dfrac { \sqrt {2}}{6}\)，求\(λ\)的值．

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