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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，\(P(1 , 1)\)是椭圆上一点，直线\(y= \dfrac {1}{3}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点\((B\)在\(A\)的右侧且不同于\(P\)点\()\)
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆方程；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(PA\)的斜率为\(1\)，求直线\(PB\)的斜率；
\((\)Ⅲ\()\)求\( \dfrac {|PA|}{|PB|}\)的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知直线\(y=2p\)与抛物线\(C\)：\(x ^{2} =2py(p > 0)\)交于\(P\)，\(Q\)两点，且\(|PQ|=8\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)斜率为\(k(k\neq 0)\)的直线\(l\)经过\(C\)的焦点\(F\)，\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的垂直平分线与\(y\)轴交于点\(D\)，点\(E\)在\(y\)轴上，\( \dfrac {|AB|}{|DE|}\)为定值，求点\(E\)的坐标．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

过抛物线\(C\)：\(y ^{2} =4x\)的焦点\(F\)且斜率为\(k\)的直线\(l\)交抛物线\(C\)于两点\(A\)，\(B\)，且\(|AB|=8\)．
\((1)\)求\(l\)的方程；
\((2)\)若\(A\)关于\(x\)轴的对称点为\(D\)，求证：直线\(BD\)恒过定点并求出该点的坐标．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F _{1}\)，\(F _{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {3}\)，\(A\)，\(B\)是\(C\)上关于\(x\)轴对称的两点，\(\triangle ABF _{1}\)周长的最大值为\(8\)．
\((1)\)求\(C\)的标准方程．
\((2)\)过\(C\)上的动点\(M\)作\(C\)的切线\(l\)，过原点\(O\)作\(OP⊥l\)于点\(P.\)问：是否存在直线\(l\)，使得\(\triangle OMP\)的面积为\(1\)？若存在，求出此时直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

在平面直角标系\(xOy\)中，点\(P(1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)在椭圆\(M： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上，且椭圆的离心率\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(M\)的标准方程；
\((2)\)过椭圆\(M\)的右顶点\(A\)作椭圆\(M\)的两条弦\(AB\)、\(AC\)，记直线\(AB\)、\(AC\)，\(BC\)的斜率分别为\(k _{1}\)、\(k _{2}\)、\(k\)，其中\(k _{1}\)、\(k _{2}\)的值可以变化，当\(k=1\)，求\(k _{1} k _{2} -k _{1} -k _{2}\)的所有可能的值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，长轴长为\(4\)，\(P\)为椭圆\(E\)上一点，\(F\)为椭圆的右焦点，满足\(PF\)与\(x\)轴垂直，且\(|PF|= \dfrac {3}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)已知\(Q\)为直线\(x=4\)上一点，直线\(QF\)与椭圆\(E\)依次交于\(A\)，\(B\)两点\((\)按照\(Q\)、\(A\)、\(F\)、\(B\)的顺序\()\)，证明：\( \dfrac {|QA|}{|QB|}= \dfrac {|FA|}{|FB|}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

如图，在边长为\(4\)的菱形\(ABCD\)中，\(∠DAB=60°\)，点\(E\)，\(F\)分别是边\(CD\)，\(CB\)的中点，\(AC∩EF=O\)，沿\(EF\)将\(\triangle CEF\)翻折到\(\triangle PEF\)，连接\(PA\)，\(PB\)，\(PD\)，得到如图的五棱锥\(P-ABFED\)，且\(PB= \sqrt {10}\)．

\((1)\)求证：\(BD⊥PA\)；
\((2)\)求四棱锥\(P-BFED\)的体积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{5}=1\)的上焦点为\(F\)，曲线\(C _{1}\)上动点\(M(x , y)(y\geqslant 0)\)到\(F\)的距离\(|MF|\)比点\(M\)到\(x\)轴的距离长\(1\)个单位．
\((1)\)求曲线\(C _{1}\)的方程；
\((2)\)若直线\(L\)：\(y=kx+t\)与曲线\(C _{1}\)相交于\(A\)、\(B\)两点，过\(A\)、\(B\)分别作曲线\(C _{1}\)的切线相交于点\(P\)，直线\(PA\)、\(PB\)分别与\(x\)轴相交于\(C\)、\(D\)，若\(AB\)与\(y\)轴相交于点\(Q\)．
①四边形\(PCQD\)是否为平行四边形？说明理由．
②四边形\(PCQD\)能否为矩形？若能，求出点\(Q\)的坐标；若不能，请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的短轴长与其焦距相等，且四个顶点构成面积为\(2 \sqrt {2}\)的菱形．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(A(1 , 0)\)且斜率不为\(0\)的直线\(l\)与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，记\(MN\)中点为\(B\)，坐标原点为\(O\)，直线\(BO\)交椭圆于\(P\)，\(Q\)两点，当四边形\(MPNQ\)的面积为\( \dfrac {2 \sqrt {15}}{3}\)时，求直线\(l\)的方程．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知过点\(M(0 , m)(m > 0)\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)：\(x ^{2} =4y\)交于\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)分别以\(A\)，\(B\)为切点作抛物线的两条切线\(PA\)，\(PB\)，交点为\(P\)，当\(m=1\)时，求点\(P\)的轨迹方程；
\((2)\)若\( \dfrac {1}{|AM|^{2}}+ \dfrac {1}{|BM|^{2}}\)为定值，求\(m\)的值．

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