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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(M\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)的长轴长为\(4\)，离心率为\( \dfrac {1}{2} .\)直线\(l _{1}\)，\(l _{2}\)交于点\(A(1, \dfrac {3}{2})\)，倾斜角互补，且直线\(l _{1}\)，\(l _{2}\)与椭圆\(M\)的交点分别为\(B\)，\(C(\)点\(B\)在点\(C\)的右侧\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(M\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)证明：直线\(BC\)的斜率为定值；
\((\)Ⅲ\()\)在椭圆上是否存在一点\(D\)，恰好使得四边形\(ABCD\)为平行四边形，若存在，分别指出此时点\(B\)，\(C\)和\(D\)的坐标；若不存在，简述理由．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

设数组\(G=(a _{1} , a _{2} , … , a _{2n+1} )\)，\(n\geqslant 2\)，\(a_{i}∈N^{*} (i=1 , 2 , … , 2n+1)\)，数\(a _{i}\)称为数组\(G\)的元素．对于数组\(G\)，规定：
①数组\(G\)中所有元素的和为\(S(G)=a _{1} +a _{2} +…+a _{2n+1}\)；
②变换\(f\)，\(f\)将数组\(G\)变换成数组\(f(G)=([ \dfrac {a_{1}+1}{2}],[ \dfrac {a_{2}+1}{2}],…,[ \dfrac {a_{2n+1}+1}{2}])\)，其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数；
③若数组\(M=(b _{1} , b _{2} , … , b _{2n+1} )\)，则当且仅当\(a _{i} =b _{i} (i=1 , 2 , … , 2n+1)\)时，\(G=M\)．
如果对数组\(G\)中任意\(2n\)个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组\(n\)个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组\(G\)具有性质\(P\)．
\((\)Ⅰ\()\)已知数组\(A=(1 , 1 , 1 , 1 , 1)\)，\(B=(1 , 4 , 7 , 10 , 13)\)，计算\(f(A)\)，\(f(B)\)，并写出数组\(A\)，\(B\)是否具有性质\(P\)；
\((\)Ⅱ\()\)已知数组\(G\)具有性质\(P\)，证明：\(f(G)\)也具有性质\(P\)；
\((\)Ⅲ\()\)证明：数组\(G\)具有性质\(P\)的充要条件是\(a _{1} =a _{2} =…=a _{2n+1}\)．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

设函数\(f(x)\)对任意\(x\)，\(y∈R\)，都有\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(x > 0\)，\(f(x) < 0\)；\(f(1)=-2\)．
\((1)\)证明\(f(x)\)是奇函数；
\((2)\)证明\(f(x)\)在\(R\)上是减函数；
\((3)\)求\(f(x)\)在区间\([-3 , 3]\)上的最大值和最小值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

从\(7\)名男生\(5\)名女生中选取\(5\)人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
\((1)A\)，\(B\)必须当选；
\((2)A\)，\(B\)必不当选；
\((3)A\)，\(B\)不全当选；
\((4)\)至少有\(2\)名女生当选；
\((5)\)选取\(3\)名男生和\(2\)名女生分别担任班长、体育委员等\(5\)种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

已知集合\(A=\{a _{1} , a _{2} , a _{3} , … , a _{n} \}\)，其中\(a _{i} ∈R\)，\(1\leqslant i\leqslant n\)，\(n > 2\)，\(l(A)\)表示\(a _{i} +a _{j} (1\leqslant i < j\leqslant n)\)中所有不同值的个数．
\((1)\)设集合\(P=\{1 , 2 , 3 , 4\}\)，\(Q=\{1 , 3 , 9 , 27\}\)，分别求\(l(P)\)，\(l(Q)\)；
\((2)\)若集合\(A=\{1 , 3 , 9 , … , 3 ^{n} )(n > 1 , n∈N)\)，证：\(l(A)= \dfrac {n(n+1)}{2}\)；
\((3)l(A)\)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

已知函数\((x)=\ln x+ \dfrac {a}{x} -1\)．
\((1)\)若\(f(x)\geqslant 0\)，求实数\(a\)的取值范围；
\((2)\)设\(a _{n} = \dfrac {1}{n+1}\)，数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，证明：\(S _{n} < \ln (n+1)\)．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}=1\)，\({{S}_{n+1}}-2{{S}_{n}}=1\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．
\((1)\)证明：\(\left\{ {{S}_{n}}+1 \right\}\)为等比数列，求出\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\(;\)
\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)，求\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)，并判断是否存在正整数\(n\)使得\({{T}_{n}}\cdot {{2}^{n-1}}=n+50\)成立\(?\)若存在求出所有\(n\)值\(;\)若不存在说明理由．

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题型：选择题题类：期末考试难易度：较难
新测
年份：2020

已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)= \dfrac {2^{1-x}-2^{x-1}}{2^{1-x}+2^{x-1}} -(x-1) ^{3}\)，则不等式\(f(2x+3)+f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\((\:\:\:\:)\)

A.\((-∞ , \dfrac {1}{3} ]\) B.\((0 , \dfrac {1}{3} ]\) C.\((-∞ , 3]\) D.\((0 , 3]\)

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}} + \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)的右焦点和抛物线\(y ^{2} =4 \sqrt {3} x\)的焦点相同，且椭圆过点\((- \sqrt {3} , \dfrac {1}{2} ).\)
\((1)\)求椭圆方程；
\((2)\)过点\((3 , 0)\)的直线交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，\(P\)为椭圆上一点，且满足\( \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} =λ \overrightarrow {OP} (λ\neq 0 , O\)为原点\()\)，当\(|AB| < \sqrt {3}\)时，求实数\(λ\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

设函数\(f(x)=(x-a)|x-a|(a∈R)\)．
\((1)\)若函数\(f(x)\)是奇函数，求\(a\)的值；
\((2)\)若存在\(a∈[-1 , 1]\)，使函数\(y=f(x)+2x ^{2} -2a|x|+2\)在\(x∈\{x||x|\geqslant t\}\)上有零点，求实数\(t\)的取值范围．

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