3.2.1 双曲线的标准方程-山东版高教版（拓展上）数学同步练习题

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全部选择题填空题解答题

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > 0 , b > 0)\)的一条渐近线方程是\(y= \sqrt {2}x\)，过其左焦点\(F( - \sqrt {3},0 )\)作斜率为\(2\)的直线\(l\)交双曲线\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，则截得的弦长\(|AB|= (\:\:\:\:)\)

A.\(2 \sqrt {5}\) B.\(4 \sqrt {5}\) C.\(10\) D.\(10 \sqrt {2}\)

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与\( \sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\)相关的代数问题，可以转化为点\(A(x , y)\)与点\(B(a , b)\)之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程\(| \sqrt {x^{2}+6x+13}- \sqrt {x^{2}-6x+13}|=4\)的解为\((\:\:\:\:)\)

A.\(± \dfrac {6}{5}\) B.\(± \dfrac { \sqrt {5}}{5}\) C.\(± \dfrac {6 \sqrt {5}}{5}\) D.\(± \dfrac {3 \sqrt {5}}{5}\)

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题型：填空题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知平面向量\( \overrightarrow {a}\)，\( \overrightarrow {b}\)，\( \overrightarrow {c}\)，\( \overrightarrow {d}\)满足\(| \overrightarrow {a} |=| \overrightarrow {b} |=| \overrightarrow {c} |=1\)，\( \overrightarrow {a} ⋅ \overrightarrow {c} = \overrightarrow {b} ⋅ \overrightarrow {c} = \dfrac {1- \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}}{ \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {d}} > 0\)，\( \overrightarrow {c} ⋅ \overrightarrow {d} =0\)，若平面向量\( \overrightarrow {s} =x \overrightarrow {a} +y \overrightarrow {b} (x , y > 0\)且\(xy=1)\)，则\(| \overrightarrow {s} +2 \overrightarrow {c} |+| \overrightarrow {s} - \overrightarrow {d} |\)的最小值是______．

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题型：选择题题类：期中考试难易度：较易
新测
年份：2020

若\(mn\neq 0\)，则方程\(mx-y+n=0\)与\(nx ^{2} +my ^{2} =mn\)所表示的曲线可能是图中的\((\:\:\:\:)\)

A. B. C. D.

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的右焦点为\(F\)，\(O\)为坐标原点，以\(OF\)为直径的圆与双曲线\(C\)的一条渐近线交于点\(O\)及点\(A( \dfrac {3}{2}, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)，则双曲线\(C\)的方程为\((\:\:\:\:)\)

A.\(x^{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\) B.\( \dfrac {x^{2}}{2}- \dfrac {y^{2}}{6}=1\) C.\( \dfrac {x^{2}}{3}-y^{2}=1\) D.\( \dfrac {x^{2}}{6}- \dfrac {y^{2}}{2}=1\)

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题型：选择题题类：模拟题难易度：较易
新测
年份：2020

已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a , b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，\(O\)为坐标原点，过右焦点\(F\)的直线与\(C\)的两条渐近线的交点分别为\(M\)，\(N\)，且\(\triangle OMN\)为直角三角形，若\(S_{\triangle ONM}= \dfrac {3 \sqrt {3}}{2}\)，则\(C\)的方程为\((\:\:\:\:)\)

A.\( \dfrac {x^{2}}{12}- \dfrac {y^{2}}{4}=1\) B.\( \dfrac {x^{2}}{6}- \dfrac {y^{2}}{2}=1\) C.\( \dfrac {x^{2}}{3}-y^{2}=1\) D.\( \dfrac {x^{2}}{2}- \dfrac {y^{2}}{6} =1\)

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知曲线\(C\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { k ^ { 2 } -2 }-\dfrac { y ^ { 2 } } { 6-k }=1\left ( { k∈R } \right )\)，则下列结论正确的是\((\) \()\)

A.当\(k=8\)时，曲线\(C\)为椭圆，其焦距为\(4+\sqrt[] { 15 }\) B.当\(k=2\)时，曲线\(C\)为双曲线，其离心率为\(\sqrt[] { 3 }\) C.存在实数\(k\)使得曲线\(C\)为焦点在\(y\)轴上的双曲线 D.当\(k=3\)时，曲线\(C\)为双曲线，其渐近线与圆\(\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } =9\)相切

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)上任意一点\((\)异于顶点\()\)与双曲线两顶点连线的斜率之积为\( \dfrac {1}{9}\)．
\((I)\)求双曲线渐近线的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过椭圆\( \dfrac {x^{2}}{m^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{n^{2}}=1(m > n > 0)\)上任意一点\(P(P\)不在\(C\)的渐近线上\()\)分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于\(M\)，\(N\)两点，且\(|PM| ^{2} +|PN| ^{2} =5\)，是否存在\(m\)，\(n\)使得该椭圆的离心率为\( \dfrac {2 \sqrt {2}}{3}\)，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由．

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

在同一直角坐标系下，已知双曲线\(C:\dfrac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }-\dfrac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\(\sqrt[] { 2 }\)，双曲线\(C\)的一个焦点到一条渐近线的距离为\(2\)，函数\(y=\sin \left ( { 2x+\dfrac { π } { 6 } } \right )\)的图象向右平移\(\dfrac { π } { 3 }\)单位后得到曲线\(D\)，点\(A\)，\(B\)分别在双曲线\(C\)的下支和曲线\(D\)上，则线段\(AB\)长度的最小值为\((\) \()\)

A.\(2\) B.\(\sqrt[] { 3 }\) C.\(\sqrt[] { 2 }\) D.\(1\)

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知双曲线的一条渐近线方程为\(y= \sqrt {3}x\)，且双曲线经过点\((2 , 3)\)，若\(F _{1}\)、\(F _{2}\)为其左、右焦点，\(P\)为双曲线右支上一点，若点\(A(6 , 8)\)，则当\(|PA|+|PF _{2} |\)取最小值时，点\(P\)的坐标为\((\:\:\:\:)\)

A.\((1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2},3+ \dfrac {3 \sqrt {2}}{2})\) B.\((1+ \dfrac {3 \sqrt {2}}{2},3+ \dfrac { \sqrt {2}}{2})\) C.\((1+ \dfrac {3 \sqrt {2}}{2},3+ \dfrac {3 \sqrt {2}}{2})\) D.\((1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2},3+ \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)

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