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题型：填空题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

正整数数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a_{n+1}= \begin{cases} { \dfrac {1}{2}a_{n},a_{n}\text{是偶数}} \\ {3a_{n}+1,a_{n}\text{是奇数}}\end{cases}\)，已知\(a _{6} =4\)，\(\{a _{n} \}\)的前\(6\)项和的最大值为\(S\)，把\(a _{1}\)的所有可能取值从小到大排成一个新数列\(\{b _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)所有项和为\(T\)，则\(S-T=\)______．

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题型：填空题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

母线长为\(2 \sqrt {3}\)，底面半径为\( \sqrt {3}\)的圆锥内有一球\(O\)，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球\(O\)都相切，这样的小球最多可放入______个．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)是各项均为正数的等比数列，\(a _{3} = \dfrac {1}{16}\)，\(a _{1} -a _{2} = \dfrac {1}{8}\)，数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{1} =-3\)，且\(1+b _{n+1}\)与\(1-b _{n}\)的等差中项是\(a _{n}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若\(c _{n} =(-1) ^{n} b _{n}\)，\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求\(S _{2n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)的右焦点\(F(1 , 0)\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)是椭圆上任意三点，\(A\)，\(B\)关于原点对称且满足\(k _{AC} ⋅k _{BC} =- \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程．
\((2)\)若斜率为\(k\)的直线与圆：\(x ^{2} +y ^{2} =1\)相切，与椭圆\(E\)相交于不同的两点\(P\)、\(Q\)，求\(|PQ|\geqslant \dfrac {4 \sqrt {3}}{5}\)时，求\(k\)的取值范围．

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：中档
新测
年份：2020

在正项等比数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{1} =1\)，前三项的和为\(7\)，若存在\(m\)，\(n∈N ^{*}\)使得\( \sqrt {a_{m}a_{n}}=4a_{1}\)，则\( \dfrac {1}{m}+ \dfrac {9}{n}\)的最小值为\((\:\:\:\:)\)

A.\( \dfrac {2}{3}\) B.\( \dfrac {4}{3}\) C.\( \dfrac {8}{3}\) D.\( \dfrac {11}{4}\)

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：中档
新测
年份：2020

过抛物线\(y ^{2} =2px(p > 0)\)的焦点\(F\)作抛物线的弦，与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)为\(AB\)的中点，分别过\(A\)，\(B\)两点作抛物线的切线\(l _{1}\)，\(l _{2}\)相交于点\(P\)，\(\triangle PAB\)又常被称作阿基米德三角形．下面关于\(\triangle PAB\)的描述：
①\(P\)点必在抛物线的准线上；
②\(AP⊥PB\)；
③设\(A(x _{1} , y _{1} )\)，\(B(x _{2} , y _{2} )\)，则\(\triangle PAB\)的面积\(S\)的最小值为\( \dfrac {p^{2}}{2}\)；
④\(PF⊥AB\)；
⑤\(PM\)平行于\(x\)轴．
其中正确的个数是\((\:\:\:\:)\)

A.\(2\) B.\(3\) C.\(4\) D.\(5\)

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：中档
新测
年份：2020

已知直线\(l _{1}\)，\(l _{2}\)的方程分别为\(2mx-2y-m=0\)和\(2x+2my-3=0\)，设\(l _{1}\)，\(l _{2}\)交于点\(M\)，记点\(M\)的轨迹为曲线\(C\)，若双曲线\(C_{1}： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的渐近线与曲线\(C\)没有公共点，则双曲线\(C _{1}\)的离心率的取值范围是\((\:\:\:\:)\)

A.\((1, \dfrac { \sqrt {6}}{2})\) B.\(( \sqrt {6},+∞)\) C.\((1, \dfrac {4 \sqrt {2}}{3})\) D.\(( \dfrac {2 \sqrt {3}}{3},+∞)\)

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题型：填空题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知\(\triangle ABC\)的三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\( \dfrac {a}{\cos A}+ \dfrac {b+ \sqrt {2}c}{\cos B}=0\)，则\(\sin 2B\boldsymbol{⋅}\tan ^{2} C\)的取值范围是______．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

如图所示，已知椭圆\(E\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(F\)分别为椭圆的上顶点、下顶点、右顶点和右焦点，且\(\triangle BCF\)的面积为\(2 \sqrt {2}-2\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)是否存在过点\(B\)的直线\(l\)，使得\(l\)与椭圆\(E\)交于另一点\(D\)，且\(\triangle ABD\)是以\(BD\)为底边的等腰三角形，若存在，请求出此时直线\(l\)的方程，若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知函数\(g(x)=x ^{2} -2x+a\)在\(x∈[1 , m]\)时有最大值为\(1\)，最小值为\(0\)．
\((1)\)求实数\(a\)的值；
\((2)\)设\(f(x)= \dfrac {g(x)}{x}\)，若不等式\(f(2 ^{x} )-k\boldsymbol{⋅}2 ^{x} \leqslant 0\)在\(x∈[0 , 1]\)上恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

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