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题型：解答题题类：历年真题难易度：较难
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年份：2020

如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，点P为AB的中点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA₁，使得平面PDA₁⊥平面PBCD．
（1）若Q为线段A₁B的中点，求证：PQ⊥平面A₁BC；
（2）若E是线段A₁C的中点，求四棱锥E-PBCD的体积．

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题型：解答题题类：历年真题难易度：较难
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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，，∠ADP=30°，∠BAD=90°．
（1）证明PD⊥PB
（2）设点M在线段PC上，且，若△MBC的面积为，求四棱锥P-ABCD的体积

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年份：2020

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB=b．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）求矩形ABCD面积S的最大值；
（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．

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年份：2020

我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：
年龄区间 [24，26] [27，29] [30，32] [33，35] [36，38] [39，41] [42，44] [45，47] [48，50]
有意愿数 80 81 87 86 84 83 83 70 66
（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）
（2）从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．
（参考：r=，=，
，（x_i）（y_i-）=x_iy_i-y_i，x_iy_i=26340，≈473.96．）

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年份：2020

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P为椭圆E上任意一点，的最大值为1，点A₁为椭圆E的左顶点，△A₁PF₂的面积最大值为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）动直线l与椭圆E交于不同两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），O为坐标原点，M为AB的中点______．是否存在实数λ，使得|OM|•|AB|≤λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．
从①△AOB的面积为1，②（其中向量这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

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年份：2020

把一块边长为a（a＞0）cm的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为xcm．
（1）若a=16，且该容器的表面积为cm²时，在该容器内注入水，水深为5cm，若将一根长度为10cm的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于A处，另一端置于侧棱DD₁上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长a的范围，使得该容器的体积始终不大于9000cm³．

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年份：2020

已知数列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且，n∈N^*，设数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求A_n和B_n；
（2）若数列{b_n}是公比为2的等比数列．①求A_2n-1；②是否存在实数m，使A_4n=m•a_4n对任意自然数n∈N^*都成立？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

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年份：2020

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=AB=1，BC=2．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

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年份：2020

设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．

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年份：2020

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a₁=b₁=c₁=1，c_n+1=a_n+1-a_n，c_n+1=•c_n（n∈N*）．
（1）若{b_n}为等比数列，公比q＞0，且b₁+b₂=6b₃，求q的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}为等差数列，公差d＞0，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1+，n∈N*．

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