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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

如图所示，在直角坐标系\(xOy\)中，\(A\)，\(B\)是抛物线\(C_{1}：y^{2}=2px(p > 0)\)上两点，\(M\)，\(N\)是椭圆\(C_{2}： \dfrac {x^{2}}{6}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)两点，若\(AB\)与\(MN\)相交于点\(E(2 , 0)\)，\( \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=-p^{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求实数\(p\)的值及抛物线\(C\)，的准线方程．
\((\)Ⅱ\()\)设\(\triangle OMN\)的面积为\(S\)，\(\triangle OMN\)、\(\triangle OAB\)的重心分别为\(G\)，\(T\)，当\(GT\)平行于\(x\)轴时，求\(|GT|+S ^{2}\)的最大值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以\(M\)余数为\(N\)的项，将这样的操作记为\(L(M , N)\)操作．设数列\(\{a _{n} \}\)是无穷非减正整数数列．
\((1)\)若\(a _{n} =2 ^{n-1}\)，\(n∈N ^{+}\)，\(\{a _{n} \}\)进行\(L(2 , 1)\)操作后得到\(\{b _{n} \}\)，设\(a _{n} +b _{n}\)前\(n\)项和为\(S _{n}\)
①求\(S _{n}\)．
②是否存在\(p\)，\(q\)，\(r∈N ^{+}\)，使得\(S _{p}\)，\(S _{q}\)，\(S _{r}\)成等差？若存在，求出所有的\((p , q , r)\)；若不存在，说明理由．
\((2)\)若\(a _{n} =n\)，\(n∈N ^{+}\)，对\(\{a _{n} \}\)进行\(L(4 , 0)\)与\(L(4 , 1)\)操作得到\(\{b _{n} \}\)，再将\(\{b _{n} \}\)中下标除以\(4\)余数为\(0\)，\(1\)的项删掉最终得到\(\{c _{n} \}\)证明：每个大于\(1\)的奇平方数都是\(\{c _{n} \}\) 中相邻两项的和．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知点\(P\)是抛物线\(C _{1}\)：\(y ^{2} =4x\)的准线上任意一点，过点\(P\)作抛物线\(C _{1}\)的两条切线\(PA\)，\(PB\)，其中\(A\)，\(B\)为切点．
\((1)\)证明：直线\(AB\)过定点，并求出定点的坐标；
\((2)\)若直线\(AB\)交椭圆\(C _{2}\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3} =1\)于\(C\)，\(D\)两点，\(S _{1}\)，\(S _{2}\)分别是\(\triangle PAB\)，\(\triangle PCD\)的面积，求\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}\)的最小值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)，\(a _{1} =1\)，\(a _{n+1} =2a _{n} -n ^{2} +3n(n∈N ^{*} ).\)
\((\)Ⅰ\()\)是否存在常数\(λ\)，\(μ\)，使得数列\(\{a _{n} +λn ^{2} +μn\}\)是等比数列，若存在，求出\(λ\)，\(μ\)的值，若不存在，说明理由．
\((\)Ⅱ\()\)设\(b _{n} = \dfrac {1}{a_{n}+n-2^{n-1}},S_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+…+b_{n}\)，证明：当\(n\geqslant 2\)时，\( \dfrac {n}{n+1} < S_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)，过点\(A(2 , 1)\)，且该椭圆的短轴端点与两焦点\(F _{1}\)，\(F _{2}\)的张角为直角．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(B(0 , 3)\)且斜率大于\(0\)的直线与椭圆\(E\)相交于点\(P\)，\(Q\)，直线\(AP\)，\(AQ\)与\(y\)轴相交于\(M\)，\(N\)两点，求\(|BM|+|BN|\)的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知数列\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{10}\)满足：对任意的\(i\)，\(j∈\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10\}\)，若\(i\neq j\)，则\(a _{i} \neq a _{j}\)，且\(a _{i} ∈\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10\}\)，设集合\(A=\{a _{i} +a _{i+1} +a _{i+2} |i=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8\}\)，集合\(A\)中元素最小值记为\(m(A)\)，集合\(A\)中元素最大值记为\(n(A).\)如数列：\(7\)，\(6\)，\(2\)，\(8\)，\(3\)，\(4\)，\(9\)，\(1\)，\(5\)，\(10\)时，\(A=\{13 , 14 , 15 , 16\}\)，\(m(A)=13\)，\(n(A)=16\)．
\((1)\)已知数列：\(10\)，\(6\)，\(1\)，\(2\)，\(7\)，\(8\)，\(3\)，\(9\)，\(5\)，\(4\)，写出集合\(A\)及\(m(A)\)，\(n(A)\)；
\((2)\)求证：不存在 \(m(A)\geqslant 18\)；
\((3)\)求\(m(A)\)的最大值以及\(n(A)\)的最小值，并说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

如图，已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)经过\((2 , 0)\)和\((0, \sqrt {2})\)，过原点的一条直线\(l\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点\((A\)在第一象限\()\)，椭圆\(C\)上点\(D\)满足\(AD⊥AB\)，连直线\(BD\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(M\)、\(N\)两点，\(\triangle ABD\)的重心在直线\(x= \dfrac {13}{21}\)的左侧．
\((1)\)求椭圆的标准方程；
\((2)\)记\(\triangle AOM\)、\(\triangle OMN\)面积分别为\(S _{1}\)、\(S _{2}\)，求\(S _{1} -S _{2}\)的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知公差非零的等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n} (n∈N*)\)，且\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(a _{4}\)成等比数列，且\(S _{4} =10\)，数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{1} =2\)，\(b_{n}-b_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设数列\(\{c _{n} \}\)满足\(c_{n}= \dfrac {\ln a_{n}}{b_{n}},(n∈N^{+})\)，求证：\((1- \dfrac {1}{2^{n-1}} )\boldsymbol{⋅}\ln \sqrt {2} \leqslant c _{2} +…+c _{n} < \dfrac {3}{4}\)，\((n∈N ^{*} , n\geqslant 2)\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知圆\(C：(x- \sqrt {3})^{2}+y^{2}=16\)，点\(G(- \sqrt {3},0)\)，\(P\)是圆\(C\)上一动点，若线段\(PG\)的垂直平分线和\(CP\)相交于点\(M\)．
\((1)\)求点\(M\)的轨迹方程\(E\)．
\((2)\)已知直线\(l\)：\(y=kx+m(m\neq 0)\)交曲线\(E\)于\(A\)，\(B\)两点．
①若射线\(BO\)交椭圆\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1\)于点\(Q\)，求\(\triangle ABQ\)面积的最大值；
②若\(OA⊥OB\)，\(OD\)垂直\(AB\)于点\(D\)，求点\(D\)的轨迹方程．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\( \sqrt {a_{n}}- \sqrt {a_{n+1}}= \sqrt {a_{n}\cdot a_{n+1}}(n∈N^{*})\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{ \sqrt { \dfrac {1}{a_{n}}}\}\)为等差数列，并求\(a _{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \sqrt {1+2a_{n+1}}\)，数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求证：\(S_{n} < n+1- \dfrac {1}{n+1}\)．

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