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总题量：1376选择本页全部试题

题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(B= \dfrac {π}{4}\)，\(\cos A+\cos 2A=0\)．
\((1)\)求角\(C\)；
\((2)\)若\(b ^{2} +c ^{2} =a+bc+2\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

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题型：选择题题类：期中考试难易度：较难
新测
年份：2020

给出下面四个推理：
①由“若\(a\)、\(b\)是实数，则\(|a+b|\leqslant |a|+|b|\)”推广到复数中，则有“若\(z _{1}\)、\(z _{2}\)是复数，则\(|z _{1} +z _{2} |\leqslant |z _{1} |+|z _{2} |\)”；
②由“在半径为\(R\)的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为\(R\)的球内接长方体中，正方体的体积最大”；
③以半径\(R\)为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；
④由“直角坐标系中两点\(A(x _{1} , y _{1} )\)、\(B(x _{2} , y _{2} )\)的中点坐标为\(( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac {y_{1}+y_{2}}{2})\)”类比推出“极坐标系中两点\(C(ρ _{1} , θ _{1} )\)、\(D(ρ _{2} , θ _{2} )\)的中点坐标为\(( \dfrac {ρ_{1}+ρ_{2}}{2}, \dfrac {θ_{1}+θ_{2}}{2})\)”\(.\)
其中，推理得到的结论是正确的个数有\((\:\:\:\:)\)个

A.\(1\) B.\(2\) C.\(3\) D.\(4\)

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知点\(A(1, \sqrt {2})\)是椭圆\(C： \dfrac {y^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上的一点，椭圆\(C\)的离心率与双曲线\(x ^{2} -y ^{2} =1\)的离心率互为倒数，斜率为\( \sqrt {2}\)直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(B\)，\(D\)两点，且\(A\)，\(B\)，\(D\)三点互不重合．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)若\(k _{1}\)，\(k _{2}\)分别为直线\(AB\)，\(AD\)的斜率，求证：\(k _{1} +k _{2}\)为定值．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

如图，在四棱锥\(O-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(1\)的菱形，\(∠ABC= \dfrac {π}{3}\)，\(OA⊥\)底面\(ABCD\)，\(OA=2\)，\(M\)为\(OA\)的中点，\(N\)为\(BC\)的中点．
\((1)\)证明：直线\(MN/\!/\)平面\(OCD\)；
\((2)\)求异面直线\(AB\)与\(MD\)所成角的余弦值．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知抛物线\(C _{1}\)：\(y ^{2} =2px(p > 0)\)，圆\(C _{2}\)：\((x-4) ^{2} +y ^{2} =4.\)抛物线\(C _{1}\)的焦点到其准线的距离恰好是圆\(C _{2}\)的半径．
\((1)\)求抛物线\(C _{1}\)的方程及其焦点坐标；
\((2)\)过抛物线\(C _{1}\)上一点\(Q(\)除原点外\()\)作抛物线\(C _{1}\)的切线，交\(y\)轴于点\(P.\)过点\(Q\)作圆\(C _{2}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N.\)若\(MN/\!/PQ\)，求\(\triangle PMN\)的面积．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆方程为\( \dfrac {x^{2}}{6}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)．
\((1)\)设椭圆的左右焦点分别为\(F _{1}\)、\(F _{2}\)，点\(P\)在椭圆上运动，求\( \overrightarrow {PF_{1}}\cdot \overrightarrow {PF_{2}}\)的取值范围；
\((2)\)设直线\(l\)和圆\(x ^{2} +y ^{2} =2\)相切，和椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为原点，线段\(OA\)、\(OB\)分别和圆\(x ^{2} +y ^{2} =2\)交于\(C\)、\(D\)两点，设\(ΔAOB\)、\(ΔCOD\)的面积分别为\(S _{1}\)、\(S _{2}\)，求\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知等差数列\(\{a _{n} \}\)的首项\(a _{1} =1\)，公差\(d=1\)，前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(b_{n}= \dfrac {1}{S_{n}}\)，
\((1)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求证：\(b _{1} +b _{2} +…+b _{n} < 2\)．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

设\(D\)是函数\(y=f(x)\)定义域的一个子集，若存在\(x _{0} ∈D\)，使得\(f(x _{0} )=-x _{0}\)成立，则称\(x _{0}\)是\(f(x)\)的一个“准不动点”，也称\(f(x)\)在区间\(D\)上存在准不动点．已知\(f(x)=\log _{ \frac {1}{2}}(4^{x}+a\cdot 2^{x}-1),x∈[0,1]\)．
\((1)\)若\(a=1\)，求函数\(f(x)\)的准不动点；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\([0 , 1]\)上存在准不动点，求实数\(a\)的取值范围．

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题型：选择题题类：期中考试难易度：较难
新测
年份：2020

已知函数\(f(x)=x ^{2} \boldsymbol{⋅}\sin x\)，各项均不相等的数列\(\{x _{n} \}\)满足\(|x _{i} |\leqslant \dfrac {π}{2} (i=1 , 2 , 3 , … , n).\)令\(F(n)=(x _{1} +x _{2} +…+x _{n} )\boldsymbol{⋅}[f(x _{1} )+f(x _{2} )+…+f(x _{n} )](n∈N ^{*} ).\)给出下列三个命题：
\((1)\)存在不少于\(3\)项的数列\(\{x _{n} \}\)，使得\(F(n)=0\)；
\((2)\)若数列\(\{x _{n} \}\)的通项公式为\(x_{n}=(- \dfrac {1}{2})^{n}(n∈N^{*})\)，则\(F(2k) > 0\)对\(k∈N ^{*}\)恒成立；
\((3)\)若数列\(\{x _{n} \}\)是等差数列，则\(F(n)\geqslant 0\)对\(n∈N ^{*}\)恒成立．
其中真命题的序号是\((\:\:\:\:)\)

A.\((1)(2)\) B.\((1)(3)\) C.\((2)(3)\) D.\((1)(2)(3)\)

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知函数\(f(x)=ax ^{2} +bx+c\)．
\((1)\)当\(a=1\)，\(b=2\)时，若存在\(x _{1}\)，\(x _{2} ∈[-2 , 0](x _{1} \neq x _{2} )\)，使得\(|f(x _{i} )|=2(i=1 , 2)\)，求实数\(c\)的取值范围；
\((2)\)若二次函数\(y=f(x)\)对一切\(x∈R\)恒有\(x ^{2} -2x+4\leqslant f(x)\leqslant 2x ^{2} -4x+5\)成立，且\(f(5)=27\)，求\(f(11)\)的值；
\((3)\)是否存在一个二次函数\(f(x)\)，使得对任意正整数\(k\)，当\(x= \overset{}{k\text{个}5}\)时，都有\(f(x)= \overset{}{2k\text{个}5}\)成立，请给出结论，并加以证明．

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