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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{n+1} =\sin a _{n}\)，\(a _{1} =a(a > 0)\)，则\((\:\:\:\:)\)

A.\(a _{n+1} \geqslant a _{n}\) B.\(a _{n+1} \leqslant a _{n}\) C.\(a=3\)时，\(a _{n+1} -a _{n} \geqslant a _{n} -a _{n-1}\) D.\(a=4\)时，\(a _{n+1} -a _{n} \geqslant a _{n} -a _{n-1}\)

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知点\(P\)是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{9}+ \dfrac {y^{2}}{5}=1\)上的动点，\(F _{1}\)、\(F _{2}\)分别为椭圆的左、右焦点，\(O\)为坐标原点，若\(M\)是\(∠F _{1} PF _{2}\)的角平分线上的一点，且\(MF _{1} ⊥MP\)，则\(OM\)的取值范围是______．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

在四棱锥\(P-ABCD\)中，已知底面\(ABCD\)为直角梯形，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，\(\triangle PAB\)是正三角形，\(BC=2AD=2\)，\(CD= \sqrt {3}\)，\(PC= \sqrt {3}\)．
\((1)\)证明：\(PC⊥AB\)；
\((2)\)求\(CD\)与平面\(PAB\)所成线面角的正弦值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n+1} =2S _{n} +n+1\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，证明：\(T_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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题型：选择题题类：模拟题难易度：中档
新测
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{n+1} =a _{n} + \dfrac {n}{a_{n}} (n∈N ^{*} )\)，\(a _{1} > 0\)，则当\(n\geqslant 2\)时，下列判断不一定正确的是\((\:\:\:\:)\)

A.\(a _{n} \geqslant n\) B.\(a _{n+2} -a _{n+1} \geqslant a _{n+1} -a _{n}\) C.\( \dfrac {a_{n+2}}{a_{n+1}}\leqslant \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\) D.存在正整数\(k\)，当\(n\geqslant k\)时，\(a _{n} \leqslant n+1\)恒成立．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PC=BC=2\)，\(AC=3\)，\(AP= \sqrt {7}\)，\(∠ACB=90°\)，点\(D\)在线段\(AB\)上，且满足\(DB=DP\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(PB⊥CD\)；
\((\)Ⅱ\()\)当面\(PDC⊥\)面\(ABC\)时，求直线\(CD\)与平面\(PAC\)所成角的正弦值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，且\(AD=CD\)，\(∠ABC=45°\)．
\((1)\)证明：\(AC⊥PB\)．
\((2)\)若\(AD= \sqrt {2}PA\)，且四棱锥\(P-ABCD\)的的体积为\( \dfrac {1}{4}\)，求\(\triangle PAB\)的面积．

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

设点\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，且\(A= \dfrac {π}{3}\)，若\( \overrightarrow {AO} =α \overrightarrow {AB} + β \overrightarrow {AC} (α , β∈R)\)，则\(α+β\)的最大值为______．

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题型：填空题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

若实数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\( \dfrac {1}{a} + \dfrac {1}{b} ═ \dfrac {2}{c}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)是调和的．设含有三个元素的集合\(P\)是集合\(M=\{x||x|\leqslant 2020 , x∈Z\}\)的子集，当集合\(P\)中的元素\(a\)、\(b\)、\(c\)既是等差的又是调和的时，称集合\(P\)为“好集”\(.\)则三元子集中“好集”的概率是______．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}} + \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)，直线\(l\)：\(y=kx+t(k , t∈R)\)，\(O\)为坐标原点．
\((1)\)设点\(P( \dfrac { \sqrt {6}}{2} , 1)\)在\(C\)上，且\(C\)的焦距为\(2\)，求\(C\)的方程；
\((2)\)设\(l\)的一个方向向量为\(( \sqrt {3}, \sqrt {2} )\)，且\(l\)与\((1)\)中的椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)为常数；
\((3)\)设直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，是否存在常数\(k\)，使得\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)的值也为常数？若存在，求出\(k\)的表达式及\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)的值；若不存在，请说明理由．

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