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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

正三棱柱\(ABC-A _{1} B _{1} C _{1}\)中，\(D\)为\(CC _{1}\)中点，\(AB=2\)．
\((1)\)求证：平面\(ADB _{1} ⊥\)平面\(ABB _{1} A _{1}\)；
\((2)\)若\(AD\)与平面\(ABB _{1} A _{1}\)所成角为\( \dfrac {π}{4}\)，求四棱锥\(A-BCDB _{1}\)的体积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(AB=2\)，\(PA=PB=BC= \sqrt {10}\)，\(PD=PC= \sqrt {2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PAB⊥\)平面\(PCD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(PA\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

等差数列\(\{a _{n} \}\)和等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +…+a _{n} b _{n} =(n-1)\boldsymbol{⋅}2 ^{n+1} +2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{c _{n} \}\)满足：\(b _{n} c _{n} =a _{n} +c _{n}\)，求证：\(c _{1} +c _{2} +…+c _{n} < 3\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

函数\(f(x)=\ln (x+1)-ax\)，\(g(x)=1-e ^{x}\)．
\((\)Ⅰ\()\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\geqslant g(x)\)在\(x∈[0 , +∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

在四棱锥\(P-ABCD\)中，已知底面\(ABCD\)为直角梯形，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，\(\triangle PAB\)是正三角形，\(BC=2AD=2\)，\(CD= \sqrt {3}\)，\(PC= \sqrt {3}\)．
\((1)\)证明：\(PC⊥AB\)；
\((2)\)求\(CD\)与平面\(PAB\)所成线面角的正弦值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n+1} =2S _{n} +n+1\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，证明：\(T_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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年份：2020

在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PC=BC=2\)，\(AC=3\)，\(AP= \sqrt {7}\)，\(∠ACB=90°\)，点\(D\)在线段\(AB\)上，且满足\(DB=DP\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(PB⊥CD\)；
\((\)Ⅱ\()\)当面\(PDC⊥\)面\(ABC\)时，求直线\(CD\)与平面\(PAC\)所成角的正弦值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，且\(AD=CD\)，\(∠ABC=45°\)．
\((1)\)证明：\(AC⊥PB\)．
\((2)\)若\(AD= \sqrt {2}PA\)，且四棱锥\(P-ABCD\)的的体积为\( \dfrac {1}{4}\)，求\(\triangle PAB\)的面积．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}} + \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > b > 0)\)，直线\(l\)：\(y=kx+t(k , t∈R)\)，\(O\)为坐标原点．
\((1)\)设点\(P( \dfrac { \sqrt {6}}{2} , 1)\)在\(C\)上，且\(C\)的焦距为\(2\)，求\(C\)的方程；
\((2)\)设\(l\)的一个方向向量为\(( \sqrt {3}, \sqrt {2} )\)，且\(l\)与\((1)\)中的椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)为常数；
\((3)\)设直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，是否存在常数\(k\)，使得\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)的值也为常数？若存在，求出\(k\)的表达式及\(|OA| ^{2} +|OB| ^{2}\)的值；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知抛物线\(y ^{2} =2px(p > 0)\)的焦点\(F\)到准线\(l\)的距离为\(2\)，直线\(x-y+m=0(m∈R)\)与抛物线交于不同的两点\(A\)，\(B\)．
\((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在与\(m\)的取值无关的定点\(T\)，使得直线\(AT\)，\(BT\)的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点\(T\)的坐标；若不存在，请说明理由．

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