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已知实数列\(\{a _{n} \}\)是等比数列，其中\(a _{7} =1\)，且\(a _{4}\)，\(a _{5} +1\)，\(a _{6}\)成等差数列．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和记为\(S _{n}\)，证明：\(S _{n} < 128(n=1 , 2 , 3 , …)\)．

设\(a\geqslant 0\)，函数\(f(x)=a \sqrt {1-x^{2}}+ \sqrt {1+x}- \sqrt {1-x}\)的最大值为\(g(a)\)．
\((1)\)设\(t= \sqrt {1+x}- \sqrt {1-x}\)，求\(t\)的取值范围，并把\(f(x)\)表示为\(t\)的函数\(m(t)\)；
\((2)\)求\(g(a)\)；
\((3)\)试求满足\(g(a)=g( \dfrac {1}{a})\)的所有实数\(a\)．

已知\(\left \{ \begin{array}{l} a_{ n } \end{array} \right \}\)为等差数列，\(a_{ 1 } \)，\(a_{ 2 } \)，\(a_{ 3 } \)分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且\(a_{ 1 } \)，\(a_{ 2 } \)，\(a_{ 3 } \)中的任何两个数都不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行
第二行	\(4\)	\(6\)	\(9\)
第三行	\(12\)	\(8\)	\(7\)

请从①\(a_{ 1 } =2\)，②\(a_{ 1 } =1\)，③\(a_{ 1 } =3\)的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列\(\left \{ \begin{array}{l} a_{ n } \end{array} \right \}\)存在；并在此存在的数列\(\left \{ \begin{array}{l} a_{ n } \end{array} \right \}\)中，试解答下列两个问题

\((1)\)求数列\(\left \{ \begin{array}{l} a_{ n } \end{array} \right \}\)的通项公式；

\((2)\)设数列\(\left \{ \begin{array}{l} b_{ n } \end{array} \right \}\)满足\(b_{ n } =\left ( { -1 } \right ) ^ { n+1 } a_{ n } ^{ 2 }\)，求数列\(\left \{ \begin{array}{l} b_{ n } \end{array} \right \}\)的前\(n\)项和\(T_{ n } \)．

 

 

在\(\vartriangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(\dfrac { \sin A } { \cos A }=\dfrac { \sin B+\sin C } { \cos B+\cos C }\)

\((1)\)若\(\vartriangle ABC\)还同时满足下列四个条件中的三个：①\(a=7\)，②\(b=10\)，③\(c=8\)，④\(\vartriangle ABC\)的面积\(S=10\sqrt[] { 3 }\)，请指出这三个条件，并说明理由；

\((2)\)若\(a=3\)，求\(\vartriangle ABC\)周长\(L\)的取值范围．

 

某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：

阶梯	年用气量\((\)立方米\()\)	价格\((\)元\(/\)立方米\()\)
第一阶梯	不超过\(228\)的部分	\(3.25\)
第二阶梯	超过\(228\)而不超过\(348\)的部分	\(3.83\)
第三阶梯	超过\(348\)的部分	\(4.70\)

从该市随机抽取\(10\)户\((\)一套住宅为一户\()\)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：

居民用气编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
年用气量\((\)立方米\()\)	\(95\)	\(106\)	\(112\)	\(161\)	\(210\)	\(227\)	\(256\)	\(313\)	\(325\)	\(457\)

\((1)\)求一户居民年用气费\(y(\)元\()\)关于年用气量\(x(\)立方米\()\)的函数关系式；

\((2)\)现要在这\(10\)户家庭中任意抽取\(3\)户，求抽到的年用气量超过\(228\)立方米而不超过\(348\)立方米的用户数的分布列与数学期望；

\((3)\)若以表中抽到的\(10\)户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取\(10\)户，其中恰有\(k\)户年用气量不超过\(228\)立方米的概率为\(P\left ( { k } \right )\)，求\(P\left ( { k } \right )\)取最大值时的值．

 

 

已知直线\(l_{ 1 } \)过坐标原点\(O\)且与圆\(x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =4\)相交于点\(A\)，\(B\)，圆\(M\)过点\(A\)，\(B\)且与直线\(y+2=0\)相切．

\((1)\)求圆心\(M\)的轨迹\(C\)的方程；

\((2)\)若圆心在\(x\)轴正半轴上面积等于\(2π\)的圆\(W\)与曲线\(C\)有且仅有\(1\)个公共点．

\((ⅰ)\)求出圆\(W\)标准方程；

\((ⅱ)\)已知斜率等于\(-1\)的直线\(l_{ 2 } \)，交曲线\(C\)于\(E\)，\(F\)两点，交圆\(W\)于\(P\)，\(Q\)两点，求\(\dfrac{\left| EF \right|}{\left| PQ \right|}\)的最小值及此时直线\(l_{ 2 } \)的方程．

已知集合\(P=\{x|2x ^{2} -5x+2\leqslant 0\}\)，函数\(y=\log _{2} (ax ^{2} -2x+2)\)的定义域为\(Q\)．
\((1)\)若\(a=-1\)，求\(P∩Q\)；
\((2)\)若\(P∩Q\neq \varnothing \)，求实数\(a\)的取值范围；
\((3)\)若方程\(\log _{2} (ax ^{2} -2x+2)=2\)在\([ \dfrac {1}{2} , 2]\)内有解，求实数\(a\)的取值的取值范围．

如图，已知长方形\(ABCD\)的周长为\(8\)，其中点\(E,F\)分别为\(BC,AD\)的中点，将平面\(ECDF\)沿直线\(EF\)向上折起使得平面\(CDFE⊥\)平面\(ABEF\)，连接\(AD,BC\)，得到三棱柱\(ADF-BCE\)，设\(BE=x,x∈(0,2)\)，记三棱柱\(ADF-BCE\)体积为\(f\left ( { x } \right )\)．

                                 

\((1)\)求函数\(f(x)\)的解析式；

\((2)\)求函数\(f(x)\)的最大值．

 

\((1)\)求内接于半径为\(R\)的圆且面积最大的矩形；
\((2)\)求内接于半径为\(R\)的球且体积最大的圆柱．

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F _{1}\)，\(F _{2}\)，\(M\)为椭圆上任意一点，当\(∠F _{1} MF _{2} =60°\)时，\(\triangle F _{1} MF _{2}\)的面积为\( \sqrt {3}\)，且\(2b= \sqrt {3} a.\)
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)设\(O\)为坐标原点，过椭圆\(C\)内的一点\((0 , t)\)作斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，直线\(OA\)，\(OB\)的斜率分别为\(k _{1}\)，\(k _{2}\)，若对任意实数\(k\)，存在实数\(m\)，使得\(k _{1} +k _{2} =4mk\)，求实数\(m\)的取值范围．