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已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)是\(\angle A={{60}^{\circ }}\)、边长为\(2\)的菱形，又，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．

\((1)\)证明：\(DN/\!/\)平面\(PMB\)；

\((2)\)证明：平面 \(PMB\bot \)平面\(PAD\)；

\((3)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦。

如图，在三棱柱\(ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)中，\(AB⊥ \)平面\(A{A}_{1}{C}_{1}C \)，\(A{A}_{1}=AC .\)过\(A{A}_{1} \)的平面交\({B}_{1}{C}_{1} \)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(.F\)

\((\)Ⅰ\()\)求证：\({A}_{1}C⊥ \)平面\(AB{C}_{1} \)；

\((\)Ⅱ\()\)记四棱锥\({B}_{1}-A{A}_{1}EF \)的体积为\({V}_{1} \)，三棱柱\(ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)的体积为\(V.\)若\(BF=FC\)，证明\({{B}_{1}}E=E{{C}_{1}}\)，并求\(\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\)的值

如图，\(\triangle ABC\)中，\(AC=BC= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}AB\)，\(ABED\)是边长为\(1\)的正方形，平面\(ABED⊥\)底面\(ABC\)，若\(G\)，\(F\)分别是\(EC\)，\(BD\)的中点．

\((1)\)求证：\(GF/\!/\)底面\(ABC\)；

\((2)\)求证：\(AC⊥\)平面\(EBC\)；

\((3)\)求几何体\(ADEBC\)的体积\(V\)．

已知\(E,F,G,H\)分别是空间四边形\(ABCD\)的边\(AB,BC,CD,DA\)上的点，且四边形\(EFGH\)是平行四边形，求证：\(EF/\!/AC\)．

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(D-GH-E\)的余弦值\(.\)        

如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)为梯形，\(AD/\!/BC\)，\(CD=\)\(\sqrt{5}\) ，\(PA=AD=AB=2BC=2\)，过\(AD\)的平面分别交\(PB\)，\(PC\)于\(M\)，\(N\)两点．

\((\)Ⅱ\()\)若\(M\)为\(PB\)的中点，求二面角\(P-DN-A\)的余弦值．

如图，在长方体\(ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(AD=AA\)\(1\)\(=1\)，\(AB=2\)，点\(E\)在棱\(AB\)上．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(D\)\(1\)\(E⊥A\)\(1\)\(D\)；

\((\)Ⅱ\()\)是否存在点\(E\)，使得\({{V}_{B-CE{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{9}\)？若存在，求出\(AE\)的长，若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥\(P-ABCD\)的底面边长为\(8\)的正方形，四条侧棱长均为\(2\sqrt{17}\)\(.\)点\(G,E,F,H\)分别是棱\(PB,AB,CD,PC\)上共面的四点，平面\(GEFH\bot \)平面\(ABCD\)，\(BC/\!/\)平面\(GEFH\)．

    \((1)\)证明：\(GH/\!/EF;\)

    \((2)\)若\(EB=2\)，求四边形\(GEFH\)的面积．