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题型：解答题题类：期末考试难易度：中档
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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB．
（Ⅰ）求证：AQ⊥CD；
（Ⅱ）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角C-AQ-D的余弦值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2020

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA=AC=2，BC=1．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：中档
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年份：2020

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁，M，N分别是AB₁，B₁C₁的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面A₁BC；
（2）求直线MN与平面BCC₁B₁所成的角的大小；
（3）求二面角B-AC₁-C的余弦值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2020

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，CC₁=4，M为棱CC₁上一点．
（1）若C₁M=1，求直线A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成的角；
（2）若C₁M=2，求证BM⊥平面A₁B₁M．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2020

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若，求BC与平面PBD所成角的正弦值．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2020

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=CD=1，PC=3，E为线段PB上一点（E不是端点），___．
从①CD⊥BC；②CD∥平面PAB；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；
（Ⅰ）求证：四边形ABCD是直角梯形；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点E，使得直线AE∥平面PCD，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：中档
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年份：2020

如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，BC=BB'=B'C=4，，AC⊥AA'，二面角B-AB'-C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．
（1）求证：EF∥平面AB'C；
（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．

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年份：2020

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=．
（1）求二面角D₁-AC-B₁的正弦值；
（2）点N是线段D₁D的中点，点E为线段A₁B₁上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A₁E的长．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
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年份：2020

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
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年份：2020

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2．
（1）求证：平面SAB⊥平面SAC；
（2）求直线SA与平面SBC所成角的正弦值．

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