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已知定义在\([0,+∞)\)上的函数\(f(x)=2f(x+2),\)当\(x\in [0,2)\)时\(f(x)={-2}{{x}^{{2}}}+4x\)，设\(f(x)\)在\([2n-2,2n)\)上的最大值为\(a_{n}(n∈N^{*})\)，且\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\) 的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，则\({{S}_{n}}\)范围为\((\)   \()\)

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=-13\)，\(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2n-6\)．

\((1)\)设\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求\(n\)为何值时，\(a_{n}\)最小．

给出集合\(M=\{f\left( x \right)|f\left( x+2 \right)=f\left( x+1 \right)-f\left( x \right),x\in R\}\)．

\((1)\)若\(g\left( x \right)={\sin }\dfrac{\pi x}{3}\)，求证：函数\(g\left( x \right)\in M\)；

\((2)\)由\((1)\)分析可知，\(g\left( x \right)={\sin }\dfrac{\pi x}{3}\)是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合\(M\)中的元素都是周期函数\(.\)命题乙：集合\(M\)中的元素都是奇函数\(.\) 请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；

\((3)\)若\(f\left( x \right)\in M\)，数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{n}}=f\left( n \right)+1\)，且\({{a}_{1}}=2\) \({{a}_{2}}=3\)，数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，试问是否存在实数\(p\)、\(q\)，使得任意的\(n\in {{N}^{*}}\)，都有\(p\leqslant {{\left( -1 \right)}^{n}}\cdot \dfrac{{{S}_{n}}}{n}{+}{{{a}}_{3}}\leqslant q\)成立，若存在，求出\(p\)、\(q\)的取值范围，若不存在，说明理由．

\(20\)、已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)分别满足\({{a}_{1}}=1,\left| {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}} \right|=2\)，且\({{b}_{1}}=-1,\left| \dfrac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}} \right|=2\)，其中\(n\in {{N}^{*}}\)，设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和分别为\({{S}_{n}},{{T}_{n}}.\)

\((1)\)若数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)都是递增数列，求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)满足：存在唯一的正整数\(k\left( k\geqslant 2 \right)\)，使得\({{c}_{k}} < {{c}_{k-1}}\)，则称数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)为“\(k\)坠点数列”．

 \(①\)若数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为“\(5\)坠点数列”，求\({{S}_{n}}\)；

\(②\)若数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为“\(p\)坠点数列”，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)为“\(q\)坠点数列”，是否存在正整数\(m\)使得\({{S}_{m+1}}={{T}_{m}}\)？若存在，求出\(m\)的最大值；若不存在，请说明理由．