已知集合\(R^{n}=\{(x_{1},x_{2},⋯,x_{n})|x_{i}\in R,i=1,2,⋯,n\}(n\geqslant 1)\)，定义\(R^{n}\)上两点\(A(a_{1},a_{2},⋯,a_{n})\)，\(B(b_{1},b_{2},⋯,b_{n})\)的距离\(d(A,B)=\sum\limits_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|.\)
\((Ⅰ)\)当\(n=2\)时，若\(A(1,2)\)，\(B(4,6)\)，求\(d(A,B)\)的值；
\((Ⅱ)\)当\(n=2\)时，证明\(R^{2}\)中任意三点\(A\)，\(B\)，\(C\)满足关系\(d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(C,B)\)；
\((Ⅲ)\)当\(n=3\)时，设\(A(0,0,0)\)，\(B(4,4,4)\)，\(P(x,y,z)\)，其中\(x\)，\(y\)，\(z\in Z\)，\(d(A,P)+d(P,B)=d(A,B).\)求满足\(P\)点的个数\(n\)，并证明从这\(n\)个点中任取\(11\)个点，其中必存在\(4\)个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于\(\dfrac{8}{3}.\)
