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已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n}+3)(n∈N^{*})\)在函数\(y=3×2^{x}\)的图象上，等比数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}+b_{n+1}=a_{n}(n∈N^{*})\)，其前\(n\)项和为\(T_{n}\)，则下列结论正确的是

已知数列\(\left\{ a_{n} \right\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}{=}k\left( 2^{n{-}1}{-}\dfrac{1}{2} \right)\)，且\(a_{3}{=}4\)，等差数列\(\left\{ b_{n} \right\}\)满足，\(b_{3}{=}a_{3}{,}b_{7}{=}a_{4}\)．

\((1)\)求数列\(\left\{ a_{n} \right\}{,}\left\{ b_{n} \right\}\)的通项公式；

\((2)c_{n}{=}a_{n}b_{n}\)，求数列\(\left\{ c_{n} \right\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

已知等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}=a\cdot {{2}^{n}}+b\)且_{\({{a}_{1}}\)}\(=3\)．

\((1)\)求\(a\)、\(b\)的值及数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，\(a_{n} > 0(n∈N^{*})\)，\(S_{6}+a_{6}\)是\(S_{4}+a_{4}\)，\(S_{5}+a_{5}\)的等差中项．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}_{2n-1}}\)，数列\(\{\dfrac{2}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求\(T_{n}\)．

设数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}=1\)，\({{S}_{n+1}}-2{{S}_{n}}=1(n\in {{N}^{*}}).\)

\((1)\)求证：数列\(\{{{a}_{n}}\}\)为等比数列；

\((2)\)若数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足：\({{b}_{1}}=1\)，\({{b}_{n+1}}=\dfrac{{{b}_{n}}}{2}+\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}\)．

\(①\) 求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的通项公式；

\(②\) 是否存在正整数\(n\)，使得\(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}=4-n\)成立？若存在，求出所有\(n\)的值；若不存在，请说明理由．