题型：解答题 题类：期末考试 难易度：较难
年份：2018
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．
\(①\)求\(T_{n}\)；
\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．
题型：解答题 题类：期末考试 难易度：较难
年份：2018
设数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{n}}=3{{a}_{n-1}}+2(n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}})\)，且\({{a}_{1}}=2\)，\({{b}_{n}}={{\log }_{3}}({{a}_{n}}+1)\)．
\((1)\)证明：数列\(\{{{a}_{n}}+1\}\)为等比数列；
\((2)\)求数列\(\{{{a}_{n}}{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)；
\((3)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{{{3}^{n}}}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，证明：\(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{c}_{n}}} < \dfrac{1}{4}\)．
题型：解答题 题类：期末考试 难易度：较难
年份：2018
题型：解答题 题类：期末考试 难易度：较难
年份：2018
已知数列\(\dfrac{1}{1\times 4}\)，\(\dfrac{1}{4\times 7}\)，\(\dfrac{1}{7\times 10}\)， \(...\) ，\(\dfrac{1}{\left( 3n-2 \right)\times \left( 3n+1 \right)}\)， \(...\)，记数列的前\(n\)项和\({S}_{n} \)．
\((\)Ⅰ\()\)计算\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)；
\((\)Ⅱ\()\)猜想\(S_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明．
题型：解答题 题类：期末考试 难易度：较难
年份：2018
设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)\(.\)已知\(2{{S}_{n}}={{3}^{n}}+3\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{n}}{{b}_{n}}={{\log }_{3}}{{a}_{n}}\)，求\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．
