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题型：选择题题类：单元测试难易度：较易
新测
年份：2021

数列\(\left\{a_{n}\right\}\)中，\(a_{1}=2\)，且\(a_{n}+a_{n-1}=\dfrac{n}{a_{n}-a_{n}{}_{-}{}_{1}}+2(n\geqslant 2)\)，则数列\(\left\{\dfrac{1}{(a_{n}-1)^{2}}\right\}\)前\(2021\)项和为\((\quad)\)

A.\(\dfrac{2021}{1010}\) B.\(\dfrac{2021}{1011}\) C.\(\dfrac{2019}{1010}\) D.\(\dfrac{4040}{2021}\)

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题型：选择题题类：单元测试难易度：较易
新测
年份：2021

对于数列\(\{{{a}_{n}}\}\)，定义\({A}_{n}=\dfrac{{a}_{1}+2{a}_{2}+⋯+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}\)为数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的“好数”，已知某数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的“好数”\({A}_{n}={2}^{n+1}\)，记数列\(\{{{a}_{n}}-kn\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\({{S}_{n}}\leqslant S{}_{6}^{{}}\)对任意的\(n\in{{N}^{*}}\)恒成立，则实数\(k\)的取值范围为\((\quad)\)

A.\([\dfrac{9}{4},\dfrac{16}{7}]\) B.\([\dfrac{16}{7},\dfrac{7}{3}]\) C.\([\dfrac{7}{3},\dfrac{12}{5}]\) D.\([\dfrac{12}{5},\dfrac{5}{2}]\)

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

等比数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，且\(2a_{1}+3a_{2}=1\)，\({a_{3}}^{2}=9a_{2}a_{6}.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+\)…\(+\log_{3}a_{n}\)，求数列\(\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和．

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}\text{=}1\)，\({a}_{n+1}=\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}(n\in{N}^{*}).\)
\((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)；
\((2)\)求证：\(\{\dfrac{1}{a_{n}}\text{+}\dfrac{1}{2}\}\)是等比数列，并求\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
\((3)\)数列\(\{b_{n}\}\)满足\({b}_{n}=({3}^{n}-1)⋅\dfrac{n}{{2}^{n}}·{a}_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若不等式\((-1{)}^{n}λ{\rm< }{T}_{n}+\dfrac{n}{{2}^{n-1}}\)对一切\(n\in{N}^{*}\)恒成立，求\(\lambda\)的取值范围．

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{3}=0\)，\(S_{5}=-5.\)
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)b_{n}=-a_{n}+2\)，求数列\(\{\dfrac{1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

已知公比大于\(0\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{1}+5\)是\(S_{2}\)和\(a_{3}\)的等差中项.
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若\(b_{n}=\dfrac{n}{a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}=2a_{n}-2^{n}\)
\((Ⅰ)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)
\((Ⅱ)\)设\(c_{n}=a_{n+1}-2a_{n}\)，证明：数列\(\{c_{n}\}\)是等比数列
\((Ⅲ)\)求数列\(\{\dfrac{n+1}{2c_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)

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题型：选择题题类：单元测试难易度：较易
新测
年份：2021

数列\(\{F_{n}\}\)：\(F_{1}=F_{2}=1\)，\(F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(n>2)\)，最初记载于意大利数学家斐波那契在\(1202\)年所著的《算盘全书》．若将数列\(\{F_{n}\}\)的每一项除以\(2\)所得的余数按原来项的顺序构成新的数列\(\{a_{n}\}\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的前\(2021\)项和为\((\quad)\)

A.\(1345\) B.\(1346\) C.\(1347\) D.\(1348\)

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=2^{n+1}-2(n\in N^{*}).\)
\((1)\)求\(a_{n}\)；
\((2)\)已知_____，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第\((2)\)问进行解答．
条件：①\(b_{n}=(2n+1)a_{n}(n\in N^{*})\)，②\(b_{n}=\dfrac{2^{n}}{(a_{n}-1)(a_{n+1}-1)}(n\in N^{*})\)，③\(b_{n}=(-1)^{n}\cdot\log_{2}a_{2n+1}(n\in N^{*})\)，

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题型：解答题题类：单元测试难易度：较易
新
年份：2021

设数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)是公比大于\(0\)的等比数列，已知\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=3\)，\(b_{2}=3a_{3}\)，\(b_{3}=12a_{2}+3.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=\begin{cases}{1,n\leqslant 5}\\ {b_{n-5},n\geqslant 6}\end{cases}\)，求数列\(\{a_{n}c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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