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题型：选择题题类：月考试卷难易度：较难
新测
年份：2020

设\(k∈N ^{*}\)，若数列\(\{a _{n} \}\)是无穷数列，且满足对任意实数\(k\)不等式\((ka _{n} -2)(a _{n} -k) < 0\)恒成立，则下列选项正确的是\((\:\:\:\:)\)

A.存在数列\(\{a _{n} \}\)为单调递增的等差数列 B.存在数列\(\{a _{n} \}\)为单调递增的等比数列 C.\(a _{1} +2a _{2} +…+na _{n} > n ^{2} -n\)恒成立 D.\(a _{1} +2a _{2} +…+na _{n} < n ^{2} +n\)恒成立

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(a _{3} =9\)，\(S _{6} =60\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{n+1} -b _{n} =a _{n} (n∈N _{+} )\)且\(b _{1} =3\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}}\}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

已知等比数列\(\{a _{n} \}\)的公比\(q > 1\)，且\(a _{2} +a _{3} +a _{4} =14\)，\(a _{3} +1\)是\(a _{2}\)，\(a _{4}\)的等差中项，数列\(\{b _{n} \}\)满足：数列\(\{a _{n} \boldsymbol{⋅}b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(n\boldsymbol{⋅}2 ^{n}\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)、\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)数列\(\{c _{n} \}\)满足：\(c _{1} =3\)，\(c _{n+1} =c _{n} + \dfrac {b_{n}}{c_{n}},n∈N^{*}\)，证明：\(c _{1} +c _{2} +…+c _{n} > \dfrac {n(n+2)}{2},n∈N^{*}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

如图，在直四棱柱\(ABCD-A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}\)中，底面\(ABCD\)是菱形，且\(AB= \dfrac {1}{2} AA _{1} =1\)，\(E\)是棱\(AA _{1}\)的中点，\(EC= \sqrt {3}\)．
\((1)\)求证：平面\(EDD _{1} ⊥\)平面\(EDC\)；
\((2)\)求三棱锥\(D _{1} -DEC\)的体积．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

设等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(5S _{5} =S _{10}\)，\(a _{4} =2a _{6} +20\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)满足\( \dfrac {b_{1}}{a_{1}} + \dfrac {b_{2}}{a_{2}} +…+ \dfrac {b_{n}}{a_{n}} = \dfrac {1}{2^{n}} -1\)，\(n∈N*\)，证明：\(b _{n} \leqslant \dfrac {5}{8}\)．

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题型：填空题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

以棱长为\(2 \sqrt {6}\)的正四面体中心点\(O\)为球心，以\(R(0 < R < 3)\)为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆\((\)或圆弧\()\)的总长度的取值范围是______．

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：较难
新测
年份：2020

已知单调递增的整数列\(\{a _{n} \}\)共有\(n\)项，\(a _{1} =1\)，\(a _{n} =200\)，且对任意的整数\(m∈[2 , n]\)，都存在整数\(i\)，\(j∈[1 , m-1]\)使得\(a _{m} =a _{i} +a _{j} (i , j\)可以相等\()\)，则数列\(\{a _{n} \}\)至少有\((\:\:\:\:)\)项．

A.\(7\) B.\(8\) C.\(9\) D.\(10\)

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

设数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(a _{1} =1\)，\(a _{n+1} = \begin{cases} {2a_{n},n\text{为奇数}} \\ {a_{n}+1,n\text{为偶数}}\end{cases}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a _{2}\)，\(a _{3}\)的值及数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在正整数\(n\)，使得\( \dfrac {S_{n}}{a_{n}} ∈Z.\)若存在，求所有满足条件的\(n\)；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

设函数\(f(x)=x ^{2} -x-15\)，且\(|x-a| < 1\)．
\((1)\)解不等式\(|f(x)| > 5\)；
\((2)\)求证：\(|f(x)-f(a)| < 2(|a|+1)\)．

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：较难
新测
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} = \dfrac {2}{3}\)，且对任意的正整数\(m\)，\(n\)，都有\(a _{m+n} =a _{m} \boldsymbol{⋅}a _{n}\)，则\(\{a _{n} \}\)前\(n\)项和\(S _{n}\)等于\((\:\:\:\:)\)

A.\(2-( \dfrac {2}{3})^{n-1}\) B.\(2-( \dfrac {2}{3})^{n}\) C.\(2- \dfrac {2^{n}}{3^{n+1}}\) D.\(2- \dfrac {2^{n+1}}{3^{n}}\)

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